立体図形の展開図｜中学受験で迷わない解き方

中学受験の立体図形で展開図が重要な理由

この記事では、中学受験で頻出する立体図形の展開図について、立方体の基本から向かい合う面、重なる辺や頂点、家庭での練習法まで順を追って解説します。

展開図とは、立体の辺を切って平面に広げた図です。

中学受験では単に「この展開図から立方体ができますか」と聞くだけではありません。

向かい合う面、重なる辺・頂点、表面積などを組み合わせた問題へ発展します。

展開図は立体を平面に開いた図

例えば立方体には、同じ大きさの正方形が6面あります。

その辺の一部を切って平面に広げれば、6枚の正方形がつながった展開図になります。

反対に、展開図を折りたたむと立方体になります。

大切なのは、

立体→平面
平面→立体

の両方向で考えられるようになることです。

向かい合う面・重なる辺・頂点が頻出

立方体の展開図では、

「面Aの向かい側はどの面ですか」

だけでなく、

「辺ABと重なる辺はどれですか」
「点Pと同じ頂点になる点はどれですか」

と聞かれることがあります。

面だけなら感覚で分かっても、辺や頂点になると急に難しくなる子は少なくありません。

そのため、面→辺→頂点の順に理解を深めるのがおすすめです。

表面積や切断にも展開図の考え方がつながる

展開図は独立した単元ではありません。

例えば直方体の表面積は、展開図にすると「外側を包むすべての面の面積」であることがよく分かります。

また切断問題でも、立体の各面にできる線を順に考えるため、面同士のつながりを理解している子ほど有利です。

展開図で身につける「面と面の位置関係」は、立体図形全体の土台になります。

頭の中だけで組み立てようとすると難しい

展開図が苦手な子に、

「頭の中で折ってみて」

と言っても、最初からできるとは限りません。

空間を想像する力には個人差があります。

だからこそ、

紙を実際に折る
面に番号を書く
辺に記号をつける

など、見える形にして考えましょう。

展開図はセンスだけで解く問題ではありません。

立方体の展開図を基本問題で理解しよう

まずは最も基本となる立方体から整理します。

立方体の展開図は正方形6枚でできる

立方体は、

上
下
前
後ろ
右
左

の6面でできています。

展開図でも正方形が6枚必要です。

ただし、正方形が6枚つながっていれば、どんな並びでも立方体になるわけではありません。

折ったときに面同士が重なったり、ふたが閉じなかったりする並びは展開図になりません。

まずは「6枚ある」だけで判断しないことが大切です。

向かい合う面を見つける方法

例えば中心となる面Aの上下左右に4枚の面がつながり、さらにそのうち1枚の先にもう1枚ある展開図を考えます。

Aの周りにある4面は、折るとAの側面になります。

そして最後の1面がAの向かい側になります。

ポイントは、

ある面の四方に接している面は、その面の向かい側にはならない

ということです。

折ったときに「ふた」になる面を探すイメージを持つと分かりやすくなります。

重なる辺や頂点を調べる方法

ここから少し難しくなります。

例えば展開図に辺a、b、cなどの記号があるとします。

立方体にしたとき、どの辺とどの辺が重なるかを考えます。

このとき一気に全部を折ろうとせず、

面Aを床に置く
↓
隣の面Bを90度起こす
↓
その隣の面Cも起こす

と順番に追います。

頂点も同じです。

同じ角に集まる3つの面を確認すると、どの点とどの点が同じ頂点になるかが分かります。

立方体にならない並びを見分ける方法

6枚の正方形があっても、折ったときに2枚が同じ場所へ来れば立方体にはなりません。

例えば4枚が一直線につながり、その同じ側に残り2枚が不適切な位置についていると、折ったときに面が重なる場合があります。

見分けるときは、

折ったとき面が重ならないか
6方向を1面ずつ埋められるか

を確認します。

暗記だけで判断するより、最初は紙で切って確かめるほうが確実です。

中学受験の展開図問題を解くコツ

応用問題でも、基本は「一面ずつ折る」です。

基準となる面を1枚決める

展開図を見たら、まず1枚を基準にします。

例えば中央に近い面を「底」と決めます。

そこから、

上へ折る
右へ折る
左へ折る

と考えます。

毎回基準を変えると混乱しやすいため、最初の1面を固定することが大切です。

90度ずつ折るイメージで隣の面を見る

立方体では、隣り合う面どうしは90度で交わります。

そのため展開図を折るときも、

「この面を90度起こす」

と考えます。

いきなり完成形を想像する必要はありません。

1枚起こす
↓
次の1枚を起こす

という順番なら、向かい合う面も判断しやすくなります。

頂点や辺には記号を書き込む

難しい問題では、頭の中だけで管理しないようにします。

例えば頂点に、

A、B、C、D

辺に、

ア、イ、ウ

などを書き込みます。

面を折ったときに、

Aとどの点が同じ場所へ来るか

を追います。

記号を書くだけで、同じ頂点・同じ辺の見落としをかなり減らせます。

円柱・角柱は側面を長方形として考える

展開図は立方体だけではありません。

円柱なら、

円2枚
長方形1枚

です。

半径3cmの円柱なら、側面の長方形の横の長さは円周なので、

3×2×3.14＝18.84cm

になります。

角柱なら、

同じ形の底面2枚
周りの側面

に分けます。

立体の表面積を求めるときも、展開図を使うと「どの面を足すのか」が見えやすくなります。

展開図が苦手な子への家庭での教え方

展開図は、実際に手を動かすことで理解しやすくなります。

実際に紙を切って立方体を作る

最初の練習では、展開図を紙に描いて切り抜きます。

そして実際に折って立方体を作ります。

「この面が上に来た」
「この2辺が重なった」

と確認します。

5～10種類程度を自分で折るだけでも、展開図を見る感覚がかなり変わります。

厚紙でなく普通のコピー用紙でも十分です。

向かい合う面を色や記号で確認する

例えば立方体の実物に、

上＝赤
下＝青
前＝黄
後ろ＝緑

のような印をつけます。

それを開いて展開図にすると、

赤と青は向かい合う

と確認できます。

色を使えない場合は、

AとA’
BとB’

のような記号でも構いません。

まず「面の関係」から理解しましょう。

見るだけでなく自分で展開図を描く

完成した展開図を選ぶ問題だけではなく、

「この立方体を開いたらどうなる？」

と、自分で描かせます。

正解が1種類とは限りません。

実際、立方体には複数の展開図があります。

1つ作れたら、

「別の開き方は？」

と考えることで、面同士のつながりへの理解が深まります。

基本→頂点・辺→表面積の順に進む

家庭学習では、

第1段階
立方体になる展開図を選ぶ

第2段階
向かい合う面を探す

第3段階
重なる辺・頂点を求める

第4段階
表面積・角柱・円柱へ応用する

という順がおすすめです。

基本問題で10問中8問程度を自力で解けるようになってから、次へ進むと負担が少なくなります。

いきなり頂点や辺の難問ばかり解かせる必要はありません。

まとめ｜展開図は「折った後」を一面ずつ考えよう

中学受験の立体図形で展開図を解くときは、完成した立体を一気に頭の中へ作ろうとしなくて大丈夫です。

まず、

基準の面を1枚決める
↓
隣の面を90度ずつ折る
↓
向かい合う面を確認する
↓
辺や頂点に記号をつける

という順番で考えます。

立方体では、

面
向かい合う面
重なる辺
重なる頂点

の順に理解を深めると取り組みやすくなります。

また展開図の考え方は、

表面積
角柱・円柱
立体切断

にもつながります。

家庭では、紙を実際に切って折ることも効果的です。

「想像しなさい」と言うより、一度実物で確かめてから紙の問題へ戻すほうが理解しやすくなります。

立体図形の展開図は、空間を頭の中で自在に動かせる子だけが解ける問題ではありません。「1枚を基準にして、隣の面を順番に折る」という手順を身につければ、中学受験でも安定して得点できる分野になります。