中学受験の展開図のコツ｜立方体攻略法を解説

中学受験の展開図が難しい理由

この記事では、中学受験の展開図を解くコツを、向かい合う面・重なる辺・頂点の見つけ方まで順番に解説します。

展開図は、立体図形の中でも苦手になりやすい単元です。

理由は単純で、紙に描かれた平面の図を見ながら、

「これを折ったらどんな立体になるか」

を頭の中で動かす必要があるからです。

平面から立体へ頭の中で動かす必要がある

例えば立方体の展開図を見たとき、6つの正方形は紙の上では平らに並んでいます。

ところが実際に組み立てると、

上
下
前
後
左
右

の6面になります。

この「平面→立体」の変換が苦手な子は、面の位置関係を途中で見失います。

大切なのは、一気に完成形を想像しようとしないことです。

1面ずつ折るつもりで考えます。

面だけでなく辺・頂点まで対応させる必要がある

中学受験では、

「向かい合う面はどれですか」

だけではありません。

「辺ABと重なる辺はどれか」
「頂点Pと重なる頂点はどれか」

と聞かれることがあります。

面の位置だけなら分かっても、辺や頂点になると急に難しく感じる子は少なくありません。

そのため、展開図は、

面
↓
辺
↓
頂点

の順で練習すると理解しやすくなります。

展開図の形を丸暗記しても応用しにくい

立方体には11種類の展開図があります。

ただし、11種類を形だけ丸暗記すればよいわけではありません。

入試では、

印が付いた面の位置
重なる頂点
展開図上の最短距離

など、同じ展開図でも聞かれ方が変わります。

「この形は見たことがある」で終わらず、どう折れるのかを理解することが大切です。

中学受験の展開図を解く5つのコツ

展開図は、いくつかの基本動作を身につけるとかなり整理しやすくなります。

基準となる1面を決める

最初に、

「この面を底面にする」

と1つ決めます。

例えば中央の正方形を底面とすると、その周囲に付いている面は、

前
後
左
右

のどれかになります。

底面を固定すると、ほかの面がどこへ動くか考えやすくなります。

毎回頭の中で立方体全体を回すより、基準面を固定したほうが混乱しにくいでしょう。

向かい合う面を先に見つける

立方体では、6面が3組の向かい合う面になります。

底面を決めたら、

「折ったときに底面の真上へ来る面はどれか」

を考えます。

この面が底面と向かい合う面です。

また、帯のように4面が横一列に並ぶ展開図なら、折ったときに向かい合う組を見つけやすくなります。

向かい合う面を先に押さえると、その後の辺・頂点問題も整理しやすくなります。

辺をまたいで90度ずつ折るイメージを持つ

展開図では、面と面の境目にある辺を軸にして折ります。

1回折るごとに90度向きが変わる、と考えます。

例えば底面の右側にある面は、折ると右側面になります。

さらにその右にもう1面付いていれば、その面はもう一度90度折れて、上面や反対側の面へ回り込みます。

「どこへ飛ぶか」を一気に考えるのではなく、

1回折る
次にもう1回折る

と順番に追うのがコツです。

重なる頂点は面を順番にたどる

頂点問題では、紙面上で離れている2点が、組み立てると同じ場所へ重なることがあります。

このときは、

面Aから面Bへ折る
面Bから面Cへ折る

と順番にたどります。

例えば1つの立方体の頂点には、必ず3つの面が集まります。

つまり、

「この頂点に集まる3面はどれか」

を考えると、重なる頂点を見つけやすくなります。

分からないときは実際に切って組み立てる

展開図が苦手な子に、

「頭の中で考えて」

と言い続けても難しいことがあります。

最初は紙に展開図を書き、

切る
折る
テープで止める

ところまでやって構いません。

実物を見ることで、

この面が上に来る
この辺とこの辺が重なる

という感覚が少しずつ残ります。

「実際に折る」のは遠回りではなく、頭の中で折るための準備です。

展開図の典型問題を例題で確認しよう

ここでは入試でよく問われる4タイプを整理します。

向かい合う面を求める問題

まず最も基本的なのが、

「面Aと向かい合う面はどれか」

という問題です。

基準となるA面を底に置きます。

その周囲の面を順に90度ずつ立ち上げ、最後にAの真上へ来る面を探します。

ここで重要なのは、「展開図上で遠い面が向かい合う」と決めつけないことです。

実際に折った位置で判断します。

重なる辺を求める問題

例えば展開図の辺ABについて、

「組み立てたときに重なる辺を答えなさい」

と聞かれることがあります。

まずABが立方体のどの位置になるかを決めます。

例えば、

底面と前面の境界

になると分かったら、反対側から同じ位置へ来る辺を探します。

辺問題では、

どの2面の境界か

まで確認するのがポイントです。

重なる頂点を求める問題

頂点では、1つの場所に3面が集まることを利用します。

例えば頂点Pが、

底面
前面
右側面

の3面が集まる場所だと分かったなら、展開図上で同じ3面に関係する頂点を探します。

点だけを追うより、

「どの3面の角か」

と考えると見つけやすくなります。

立方体にならない展開図を見分ける問題

6つの正方形がつながっていても、すべてが立方体の展開図になるわけではありません。

折ったときに、

2つの面が同じ場所へ重なる
逆に1面分が足りない

場合は、立方体になりません。

見分けるときは、

基準面を決める
周囲を折る
同じ位置へ2面来ないか確認する

という順番で考えます。

形を丸暗記するより、この方法のほうが初見の配置にも対応しやすくなります。

展開図が苦手な子の家庭学習法

展開図は、短期間に大量演習するより、毎日少しずつ立体を動かす経験を増やすほうが効果的です。

最初は11種類すべてを覚えようとしない

立方体の展開図は11種類ありますが、最初から一覧表を丸暗記させる必要はありません。

まず2〜3種類を実際に作り、

どの面が向かい合うか
どの辺が重なるか

を確認します。

その後、違う形へ広げていきます。

「11個覚えなさい」より、「折るとどうなる？」のほうが理解につながります。

1日2〜3問でも実際に折る

例えば1日3問なら、

1問目：向かい合う面
2問目：重なる辺
3問目：重なる頂点

と分けます。

分からない問題だけ、実際に展開図を切って折ります。

毎回すべて工作する必要はありません。

「紙だけで分からなかった問題だけ実物で確認する」という使い方で十分です。

翌日は紙だけで頭の中に立方体を作る

前日に実際に折った展開図を、翌日は切らずに解きます。

例えば、

「A面の反対は？」
「Pと重なる頂点は？」

と聞きます。

実物なしで答えられれば、頭の中に少しずつ立体が作れるようになっています。

できなければ、もう一度折って確認します。

切断や最短距離へつなげる

展開図はそれだけで終わる単元ではありません。

例えば立体表面上の2点間の最短距離は、面を展開して平面にすると考えやすくなります。

また立体切断でも、

どの面同士がつながっているか

を理解していることが役立ちます。

展開図を安定して読めるようになると、

切断
立体の移動
最短距離

など、ほかの立体図形問題にもつながります。

まとめ｜展開図は面・辺・頂点を順番に追うのがコツ

中学受験の展開図で大切なのは、完成した立方体を一瞬で頭に浮かべることではありません。

まず、

基準となる1面を決める
向かい合う面を探す
1面ずつ90度折る
辺を追う
頂点に集まる3面を見る

という順番で考えましょう。

特に展開図が苦手な子は、最初から11種類を丸暗記する必要はありません。

中学受験の展開図のコツは、「面→辺→頂点」の順に位置関係を確認し、分からないときだけ実際に折って確かめることです。

家庭では、工作のように実際の展開図を作るところから始めても構いません。

その後、

実物を見る
↓
紙だけで考える
↓
頭の中で折る

という順番で進めれば、少しずつ立体をイメージできるようになります。

展開図は「図形センスがある子だけが解ける問題」ではありません。折る順番を決めて練習すれば、向かい合う面や重なる辺・頂点も手順で判断できるようになります。