中学受験の図形・展開図｜頻出問題と解き方

中学受験の図形で展開図が重要な理由

この記事では、中学受験の図形で頻出する展開図について、立方体・直方体・角柱・円柱の基本から、面・辺・頂点を正確に判断する方法、家庭での練習法まで順を追って解説します。

中学受験算数の図形問題には、平面図形と立体図形があります。

展開図はその両方をつなぐテーマです。

平面に描かれた図を折って立体を考えたり、反対に立体を開いて平面に戻したりするため、立体図形全般の理解にも大きく関わります。

展開図は平面図形と立体図形をつなぐ

展開図とは、立体の辺の一部を切り、表面を平面に広げた図です。

例えば立方体なら、6枚の正方形をつないだ展開図になります。

展開図を折れば立体になり、立体を切り開けば展開図になります。

つまり、

平面→立体
立体→平面

を行き来する問題です。

この感覚が身につくと、立体図形を「見えない形」として怖がらず、平面に直して考えられるようになります。

面・辺・頂点の位置関係が問われる

入試では、

「面Aと向かい合う面はどれか」

だけでなく、

「辺アと重なる辺はどれか」
「点Pと同じ頂点になる点はどれか」

まで問われます。

立方体には、

6面
12辺
8頂点

があります。

面の位置を正確に決められないと、辺や頂点も判断できません。

そのため家庭学習では、いきなり頂点問題へ進まず、まず面の位置関係から確認することが大切です。

表面積の理解にもつながる

展開図は表面積の理解にも役立ちます。

例えば、

たて6cm
横4cm
高さ5cm

の直方体なら、

6×4の面が2枚
6×5の面が2枚
4×5の面が2枚

あります。

したがって表面積は、

6×4×2＋6×5×2＋4×5×2
＝48＋60＋40
＝148㎠

です。

展開図を見ると、「表面積とは外側にある面を全部足したもの」という意味が分かります。

空間センスだけに頼らなくてよい

展開図が苦手だと、

「うちの子は空間認識が弱いのでは」

と心配する保護者もいます。

しかし、展開図は頭の中だけで立体を回転させる必要はありません。

基準面を決める
面を1枚ずつ折る
記号を書く

という手順を使えば解けます。

展開図は「センスの問題」ではなく、考え方を練習できる分野です。

中学受験でよく出る展開図の問題

ここでは、代表的な4種類を整理します。

立方体になる展開図を選ぶ問題

基本問題として多いのが、

「次のうち立方体になる展開図を選びなさい」

という形式です。

立方体は正方形6枚でできています。

しかし、6枚がつながっていれば何でも立方体になるわけではありません。

折ったときに、

2面が同じ場所へ重なる
上面になる面が作れない

といった並びは不正解です。

判断するときは1枚を底面に固定し、残りが、

上
前
後ろ
右
左

へ1枚ずつ配置できるかを確認します。

向かい合う面を見つける問題

例えば面Aの上下左右に4枚の面が直接ついているとします。

この4枚は折るとAの周囲に立ち上がるため、Aの向かい側にはなりません。

残りの1枚が折り返されてAの反対側へ来る場合があります。

ここでは、

「Aと辺を共有している面はAの反対面ではない」

と候補を減らすと考えやすくなります。

ただし展開図の形によって位置は変わるため、最後は折る順番を追って確認しましょう。

重なる辺・頂点を求める問題

難度が上がると、辺や頂点を追います。

例えば、

「組み立てたとき、辺アと重なる辺を答えなさい」

という問題です。

この場合は、辺アを含む面を基準にして、

隣の面を90度折る
↓
次の面も折る
↓
辺アが立体のどこへ来るか確認する

と進めます。

頂点問題も同様です。

立方体では1つの頂点に3枚の面が集まるので、

「この点には最終的にどの3面が集まるか」

を追うと分かりやすくなります。

角柱・円柱の展開図と表面積

展開図は立方体だけではありません。

三角柱なら、

同じ三角形が2枚
長方形が3枚

です。

円柱なら、

円が2枚
長方形が1枚

になります。

例えば半径3cm、高さ8cmの円柱では、側面の長方形の横は円周なので、

3×2×3.14＝18.84cm

です。

側面積は、

18.84×8＝150.72㎠

となります。

展開図と表面積をつなげて考えられると、公式の丸暗記を減らせます。

図形の展開図を正確に解くコツ

展開図で迷ったときは、4つの手順を意識します。

基準面を1枚決めて固定する

まず、

「この面を底にする」

と決めます。

例えば面Aを底にしたら、最後までAを底として考えます。

途中で、

Aを前にしてみよう
今度は右にしてみよう

と基準を変えると混乱します。

1枚を固定することで、ほかの面の位置が整理しやすくなります。

面を90度ずつ順番に折る

立方体や直方体では、隣り合う面は直角に交わります。

そのため、

面Bを90度起こす
↓
面Cを90度起こす

と一面ずつ考えます。

完成した立体を一瞬で思い浮かべる必要はありません。

「次の1枚はどこへ行くか」だけ考えるのがポイントです。

面・辺・頂点に記号を書き込む

複雑な展開図では、

面A
辺ア
点P

などを問題用紙へ直接書き込みます。

例えば点Pを追うなら、

「Pは面Aを折ると右上へ移る」

と位置を確認します。

頭の中だけで情報を管理すると、似た辺や頂点を取り違えやすくなります。

中学受験では、図への書き込みも立派な解法です。

分からなければ立体を開く方向から考える

展開図から立体へ折るのが難しい場合は、逆向きに考えます。

例えばティッシュ箱を思い浮かべ、

上面を残す
右面を外側へ倒す
前面も倒す

というように「箱を開く」方向から考えます。

折る方向だけでなく、開く方向も理解できると、新しい展開図にも対応しやすくなります。

展開図が苦手な子におすすめの家庭学習法

展開図は実物を使って練習しやすい単元です。

紙を切って実際に立体を作る

コピー用紙で十分です。

正方形を6枚つないだ展開図を描き、

切る
折る
立方体を作る

ところまで行います。

そのとき、

「Aの反対はどこ？」
「この辺とどの辺が重なる？」

と確認しましょう。

実際に手を動かすことで、平面と立体のつながりを理解しやすくなります。

面→辺→頂点の順に練習する

おすすめの順番は、

第1段階：立方体になる展開図を選ぶ
第2段階：向かい合う面を求める
第3段階：重なる辺を求める
第4段階：同じ頂点を求める

です。

面の位置が分からない子に頂点問題を何問解かせても、安定しにくいものです。

難しい問題へ進む前に、土台を固めましょう。

展開図と表面積をセットで学ぶ

展開図を作ったら、

「この6面の面積を全部足すと何になる？」

と聞いてみましょう。

答えは表面積です。

円柱でも、側面を開いた長方形について、

「この横の長さは何？」

と聞けば、円周とのつながりを確認できます。

展開図を単なるパズルにせず、面積問題と結びつけることで理解が深まります。

翌日は模型なしで解き直す

紙模型で確認した問題は、その日のうちに終わらせないことが大切です。

翌日は模型を使わず、

向かい面
重なる辺
頂点

をもう一度考えます。

さらに3〜7日後に似た問題を1問解けば、より定着しやすくなります。

「模型があれば解ける」から「紙だけでも解ける」へ進むのが目標です。

まとめ｜展開図は一面ずつ位置を決めれば解ける

中学受験の図形・展開図では、

立方体になるか
向かい合う面はどれか
重なる辺・頂点はどこか
角柱や円柱の表面積はいくらか

といった問題が出ます。

解くときは、

基準面を1枚固定する
↓
隣の面を90度ずつ折る
↓
面の位置を決める
↓
辺・頂点へ進む

という順番が基本です。

展開図が苦手だからといって、空間認識のセンスがないと決めつける必要はありません。

紙を折る
記号を書く
一面ずつ追う

という方法を使えば、頭の中だけで立体を動かさなくても解けます。

家庭では、最初に実物を作り、その後模型なしで同じ問題を解く練習を取り入れましょう。

中学受験の展開図は、「立体を一瞬でイメージできるか」ではなく、「面のつながりを順番に整理できるか」が重要です。一面ずつ位置を決める習慣をつければ、苦手な子でも十分に得点源へ変えられます。