中学受験算数の旅人算｜基本を親子でやさしく理解

中学受験算数の旅人算の基本とは

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の旅人算の基本を、親が家庭で教えやすい順番でやさしく解説します。

旅人算は2人の動きを整理する問題

中学受験算数の旅人算は、2人以上の人や乗り物が動く様子を考える文章題です。名前には「旅人」とありますが、実際には兄弟が歩く、自転車で追いかける、電車がすれ違う、池の周りを回るなど、いろいろな形で出題されます。

旅人算で最初に大切なのは、いきなり式を作らないことです。まず「誰が」「どこから」「どちら向きに」「どれくらいの速さで」動いているのかを整理します。

たとえば、AさんとBさんが1200m離れた地点から向かい合って歩く問題では、2人の間の距離が少しずつ縮まります。Aさんが分速70m、Bさんが分速50mなら、1分で70＋50＝120mずつ近づきます。このように、2人の位置関係を整理することが旅人算の基本です。

土台は速さ・時間・距離の関係

旅人算の土台になるのは、速さ・時間・距離の関係です。基本は、距離＝速さ×時間です。そこから、時間＝距離÷速さ、速さ＝距離÷時間と考えます。

ただし、旅人算では1人だけでなく、2人の動きを同時に扱うため、子どもが混乱しやすくなります。大切なのは、1人ずつの速さだけを見るのではなく、「2人の距離が1分ごとにどれだけ変わるか」を考えることです。

向かい合って進むなら、2人の距離は両方から縮まります。同じ向きに進むなら、速い人が遅い人との差を少しずつ縮めます。この違いが分かると、旅人算の式の意味が見えやすくなります。

基本は「距離がどう変わるか」を見ること

旅人算の基本は、公式を覚えることではなく、「距離がどう変わるか」を見ることです。

2人が向かい合って進むなら、2人の距離は縮まります。2人が同じ向きに進み、速い人が遅い人を追いかけるなら、距離は速さの差だけ縮まります。反対に、同じ地点から逆向きに進むなら、2人の距離は広がっていきます。

このように、旅人算では「距離が縮まるのか、広がるのか」「1分で何m変わるのか」を考えることが中心です。家庭で教えるときも、「足すの？ 引くの？」と聞く前に、「2人の距離はどうなる？」と問いかけると理解しやすくなります。

旅人算の基本パターンを理解しよう

向かい合う出会い算は速さを足す

旅人算の代表的な基本パターンが、出会い算です。出会い算は、2人が向かい合って進み、どこかで出会う問題です。

たとえば、AさんとBさんが1500m離れた地点から向かい合って歩きます。Aさんは分速80m、Bさんは分速70mです。この場合、2人の距離は1分で80＋70＝150m縮まります。1500mの距離が毎分150mずつ縮まるので、1500÷150＝10分で出会います。

ここで大切なのは、「出会い算は速さを足す」と丸暗記することではありません。Aさんが進んだ分とBさんが進んだ分の両方で、間の距離が短くなるから足すのです。

子どもに説明するときは、「2人が両方から近づくから、1分で2人分進むね」と言うと伝わりやすくなります。

同じ向きの追いつき算は速さの差を見る

もう一つの基本パターンが、追いつき算です。追いつき算は、同じ方向に進む2人のうち、速い人が遅い人に追いつく問題です。

たとえば、弟が分速60mで先に進み、兄が分速90mで後から追いかけるとします。兄は1分で弟より90−60＝30m多く進みます。つまり、2人の距離は1分に30mずつ縮まります。

もし兄が出発した時点で弟が300m先にいるなら、300÷30＝10分で追いつきます。

追いつき算でつまずく子は、速さを足すのか引くのかで迷います。同じ向きに進んでいる場合は、2人分の距離が縮まるのではなく、速さの差だけ縮まると考えましょう。

時間差がある問題は先に進んだ距離を出す

旅人算の基本で次に押さえたいのが、時間差のある問題です。2人が同時に出発しない場合、まず先に出発した人がどれだけ進んだかを求めます。

たとえば、弟が分速60mで10分先に出発し、その後に兄が分速90mで追いかける問題を考えます。兄が出発した時点で、弟は60×10＝600m先にいます。

この600mを、兄と弟の速さの差で縮めます。90−60＝30mなので、600÷30＝20分で追いつきます。

時間差のある問題では、いきなり速さの差で割るのではなく、「後から出発した人が動き始めた時点で、どれだけ離れているか」を先に出すことが大切です。家庭では、「兄が出発したとき、弟はどこにいる？」と聞くと整理しやすくなります。

旅人算の基本でつまずきやすいポイント

単位をそろえないまま計算してしまう

旅人算でよくあるミスが、単位をそろえないまま計算することです。速さの考え方は合っていても、分速と時速、mとkmが混ざっていると答えがずれてしまいます。

たとえば、片方が分速80m、もう片方が時速6kmと書かれていた場合、そのまま足したり引いたりしてはいけません。時速6kmは、1時間に6000m進むという意味です。1時間は60分なので、6000÷60＝分速100mです。

また、距離が1.2kmと書かれていれば、必要に応じて1200mに直します。旅人算では、式を書く前に単位をそろえる確認が欠かせません。

家庭では、問題を解く前に「単位チェック」とノートに書かせるだけでも効果があります。

誰が何分動いたかを読み違える

旅人算では、誰が何分動いたのかを読み違えるミスもよくあります。特に、片方が先に出発する問題や途中で休む問題では、2人が同じ時間だけ動いているとは限りません。

たとえば、弟が10分先に出発し、兄が後から追いかける問題では、弟は兄より10分長く動いています。この10分間で弟がどれだけ先に進んだかを出さないと、正しい式は作れません。

苦手な子は、問題文に出てくる数字を見てすぐ計算しようとします。しかし旅人算では、計算の前に「誰が先に動いたのか」「同時に動いている時間はどこからか」を整理する必要があります。

線分図や矢印を使い、時間の流れを見えるようにすると、読み違いを防ぎやすくなります。

式だけ覚えて場面を説明できない

旅人算の基本問題で正解していても、場面を説明できない場合は注意が必要です。「向かい合うときは足す」「追いつくときは引く」と覚えているだけでは、問題文が少し変わると対応できなくなります。

たとえば、出会い算であれば、「向かい合って進むので、1分で縮まる距離は2人の速さの合計です」と説明できるかを確認します。追いつき算なら、「同じ向きに進むので、1分で縮まる距離は速さの差です」と言えるかが大切です。

説明は長くなくて構いません。1文で理由を言えることが、理解の目安になります。答えが合っていても説明できない場合は、もう一度基本に戻る価値があります。

家庭でできる旅人算の基本練習

問題文を短く言い換える

家庭で旅人算を教えるときは、長い問題文を短く言い換える練習が効果的です。文章が長いままだと、子どもは数字だけを拾って式を作ろうとしがちです。

出会い算なら、
「2人が向かい合って歩く」
「2人の距離が縮まる」
「1分で縮まる距離は2人の速さの合計」
と整理します。

追いつき算なら、
「弟が先に進んでいる」
「兄が後から追いかける」
「1分で縮まる距離は速さの差」
と言い換えます。

このように短くすると、問題の中で何が起きているかが見えやすくなります。親が式を先に教えるのではなく、「つまり、2人の距離はどうなる？」と聞くことが大切です。

線分図と矢印で動きを見える化する

旅人算の基本練習では、線分図と矢印を使いましょう。図を描く目的は、きれいなノートを作ることではありません。2人の位置、向き、距離の変化を見えるようにすることです。

出会い算では、線の両端から矢印を向かい合わせに描きます。追いつき算では、2本の矢印を同じ方向に描き、速い人の矢印を少し長くします。

図にすると、速さを足すのか引くのかが判断しやすくなります。向かい合っていれば距離は両方から縮まり、同じ向きなら速さの差だけ縮まります。

図は簡単で構いません。最初のうちは、式を書く前に矢印だけでも描く習慣をつけましょう。

解いた後に理由を1文で説明させる

旅人算の基本を定着させるには、解いた後に理由を1文で説明させることが大切です。

たとえば、出会い算なら、
「向かい合って進むので、1分で縮まる距離は80＋70＝150mです」
と言えれば十分です。

追いつき算なら、
「同じ向きに進むので、1分で縮まる距離は90−60＝30mです」
と説明できれば理解できています。

この説明ができる子は、問題文が少し変わっても基本に戻って考えられます。反対に、答えは合っていても理由が言えない場合は、式を覚えているだけの可能性があります。

家庭では、「どうして足したの？」「どうして引いたの？」と短く聞く習慣をつけましょう。

まとめ：旅人算の基本は「動き」と「距離の変化」

中学受験算数の旅人算の基本は、速さの公式を覚えることだけではありません。大切なのは、2人の動きによって距離がどう変わるかを見ることです。

向かい合う出会い算では、2人の距離が両方から縮まるため速さを足します。同じ向きに進む追いつき算では、速い人と遅い人の差だけ距離が縮まるため、速さの差を見ます。時間差がある問題では、まず先に進んだ距離を出すことが必要です。

つまずきやすいポイントは、単位をそろえないこと、誰が何分動いたかを読み違えること、式だけ覚えて場面を説明できないことです。家庭では、問題文を短く言い換え、線分図と矢印で動きを見える化し、解いた後に理由を1文で説明させましょう。

旅人算は、基本が見えるようになると一気に理解しやすくなる単元です。焦って応用問題に進む前に、「向き」「距離の変化」「単位」の3つを丁寧に確認していきましょう。