中学受験算数 展開図ができない原因と対策

中学受験算数の展開図ができない理由

この記事では、中学受験算数の展開図ができない理由を整理し、家庭でどこから戻り、どのように練習すればよいのかを順を追って解説します。

立体を頭の中だけで組み立てようとする

展開図とは、立体の表面を切り開き、平面に広げた図です。中学受験算数では、立方体や直方体を組み立てたとき、どの面が向かい合うか、どの辺や頂点が重なるかを考えます。

展開図ができない子に多いのが、六つの面を頭の中で一度に折り上げようとすることです。途中で上下左右が分からなくなり、最後は「たぶんこの面」と感覚で選んでしまいます。

しかし、最初から立体を自由に回転させられる必要はありません。一つの面を動かさない基準に決め、周囲の面を一枚ずつ起こせば整理できます。

たとえば、中央の正方形を底面にすると、その上下左右にある面は側面として立ち上がります。最後に残った面がふたのように折れ、底面と向かい合います。

展開図ができないのは、空間認識力が低いからと決めつける必要はありません。多くの場合、一度に考える情報が多すぎるだけです。折る順番を小さく分ければ、苦手な子でも解きやすくなります。

面・辺・頂点の違いを整理できていない

展開図では、面の位置だけでなく、辺や頂点の対応も問われます。この三つを混同していると、向かい合う面は分かっても、重なる辺や点を間違えます。

立方体には、面が6つ、辺が12本、頂点が8つあります。展開図上では離れている二つの辺が、組み立てると重なることがあります。また、別々に描かれた三つの点が、完成後には一つの頂点へ集まります。

子どもがよくするのは、面だけを目で追い、辺や頂点の対応を頭の中で覚えようとすることです。これでは、面が動くたびに位置関係が入れ替わってしまいます。

家庭では、「平らな部分が面」「面と面が接する線が辺」「辺が集まる点が頂点」と、紙の箱や空き箱を指しながら確認しましょう。そのうえで、展開図の重なる辺には同じ文字、同じ頂点になる点には同じ番号を書きます。

考えたことを図の上に残すだけでも、取り違えは大きく減らせます。

展開図の形を暗記して解いている

立方体の展開図には複数の形があるため、形を丸ごと暗記しようとする子もいます。見たことのある向きなら答えられても、図を回転させたり面に模様を加えたりすると、急に分からなくなります。

これは、立体の組み立て方ではなく、紙面上の形だけを覚えている状態です。

たとえば、正方形が四枚一直線に並ぶ展開図では、その四面が立方体の側面として一周する場合があります。しかし、残り二面の位置によっては、折ったときに面が重なり、立方体にならないこともあります。

大切なのは、「以前見た形か」ではなく、「基準面から順番に折ったとき、六つの面が別々の位置へ来るか」を確認することです。

暗記は確認を速くする補助にはなりますが、初めて見る問題を解く土台にはなりません。形が変わっても使える手順を身につける必要があります。

展開図ができない子が戻るべき基本

基準となる面を一つ決める

展開図ができないときは、最初に基準面を一つ決める基本へ戻りましょう。基準面とは、動かさずに底面や正面として考える面です。

文字や模様がある面を問われているなら、その面を基準にすると分かりやすくなります。特に指定がなければ、周囲に多くの面がつながっている中央付近の面を選びます。

基準面には丸をつけ、問題を解き終えるまで変えません。途中で別の面を底面として考え始めると、上・下・右・左が入れ替わって混乱します。

家庭では、子どもが手を止めたときに「どの面を動かさずに考えている？」と聞いてください。答えられない場合は、基準が定まっていない可能性があります。

基準面を固定すれば、一度に六面を考える必要がなくなり、周囲の面との関係だけに集中できます。

面を一枚ずつ起こして位置を確認する

基準面を決めたら、直接つながっている面を一枚ずつ起こします。

基準面の右にある面なら右側面、上にある面なら奥側面というように、完成後の位置を言葉で確認します。必要であれば、面の中に「右」「奥」「左」などと書いても構いません。

一枚起こすたびに、「この面は基準面と辺を共有している」「この面は基準面と向かい合わない」と整理します。四つの側面が立ち上がった後、最後にふたをする面が基準面の反対側へ来ます。

重要なのは、完成形を一気に想像しないことです。「まず右の一面」「次に上の一面」と小さく処理します。

この手順を繰り返すと、頭の中で立体を動かすことが苦手な子でも、向かい合う面を根拠をもって判断できるようになります。

重なる辺と頂点には同じ記号をつける

重なる辺や頂点を答える問題では、記号を使って対応を整理しましょう。

一方の辺に「ア」と書いたら、組み立てたときに重なると考えた辺にも「ア」と書きます。辺の両端には1・2などの番号をつけ、どの点とどの点が一致するかまで追います。

ここで注意したいのは辺の向きです。辺同士は重なっていても、一方の上端が、もう一方の下端に重なる場合があります。辺だけを見て終えると、頂点の問題で間違えます。

立方体の一つの頂点には三つの面が集まります。「この角にはどの三面が集まるか」を確認すると、同じ頂点になる点を見つけやすくなります。

練習では色鉛筆を使ってもよいでしょう。慣れてきたら、試験本番を想定して、鉛筆による文字や番号だけで整理する方法へ移します。

家庭でできる展開図の苦手克服法

紙で作る前に答えを予想する

展開図ができない子には、実際に紙で組み立てる練習が効果的です。ただし、何も考えず工作をするだけでは、問題を解く力につながりにくくなります。

方眼紙に展開図を書いたら、切り取る前に答えを予想します。「Aと向かい合う面はどれか」「辺アと重なる辺はどれか」「同じ頂点になる点はどれか」と問いかけ、印をつけさせます。

その後で組み立て、予想が合っていたかを確認します。間違えた場合は、答えだけを直すのではなく、「どの面を逆方向へ折ったか」「辺の端を反対に考えたか」を振り返ります。

教材指導の場でも、紙を折った瞬間に「そういうことか」と理解が進む子は珍しくありません。ただし、本当の定着には、折る前の予想と、折った後の説明が必要です。

基本的な展開図を2〜3種類、丁寧に扱うだけでも十分な練習になります。

矢印を使って面の動きを見える化する

実物を使った後は、紙を切らずに、矢印で面の動きを表す練習へ進みます。

基準面に丸をつけ、その周囲の面に折れる方向を示す矢印を書きます。右側の面なら右へ起きる矢印、上側の面なら奥へ起きる矢印というように、動きを図に残します。

完成後の位置を面の中へ書く方法も有効です。「底」「右」「左」「上」などと書けば、面同士の関係を見失いにくくなります。

「頭の中で想像して」と言われても、苦手な子には何をすればよいか分かりません。矢印は、実物を折る段階と、頭の中で考える段階をつなぐ道具です。

答え合わせでは矢印を消さず、どこで動かし方を間違えたかを確認しましょう。

実物なしで解く段階へ移行する

紙で確認できるようになったら、少しずつ実物なしで解く段階へ進みます。

最初は、矢印や位置の書き込みを多めに使います。次に、基準面と重なる辺だけに印をつけます。最後は、問われた面・辺・頂点だけを最低限の書き込みで追います。

紙を使えば解けるからといって、いつまでも毎回組み立てていては、制限時間のあるテストに対応できません。一方で、急に実物を禁止すると、理解できないまま苦手意識が強くなります。

進む目安は、前日に紙で確認した問題を、翌日に図だけで解けるかどうかです。さらに、「なぜその面が向かい合うのか」を説明できれば、理解が定着し始めています。

図だけで分からなくなった場合は、矢印や実物へ戻って構いません。必要な段階へ戻ることが、苦手克服の近道です。

展開図をテストの得点につなげる方法

問題を頻出パターン別に整理する

中学受験の展開図問題は、代表的なパターンに分けて整理できます。

主なものは、立方体になる展開図の判定、向かい合う面、重なる辺と頂点、サイコロの位置関係、立体表面上の最短距離です。

展開図ができない子に、これらを一度に解かせる必要はありません。まず面の問題を固め、次に辺と頂点、最後にサイコロや最短距離へ進みます。

復習ノートには、「向かい合う面」「辺の対応」「最短距離」などの分類を書きましょう。「展開図が全部苦手」とまとめず、どの型で止まるのかを明確にします。

同じ型を2〜3問練習したら、別の型と混ぜて出題し、子ども自身が何を確認すべき問題か判断できるか試してください。

間違えた理由を一言で記録する

展開図の復習では、正解を書き写すより、間違えた理由を残すことが大切です。

たとえば、「基準面を途中で変えた」「二面を同じ場所へ折った」「辺の両端を逆にした」「問われていない面まで全部追って混乱した」と書きます。

その横に、「基準面へ丸をつける」「辺の端にも番号を書く」「必要な面だけ追う」など、次に行うことを一言で記録しましょう。

長い解説を書く必要はありません。一問につき一つの原因と一つの対策で十分です。

テスト前には、この短いメモを見直します。自分が間違えやすいポイントを短時間で確認できるため、模範解答を読み返すより実践的です。

翌日と1週間後に解き直す

展開図は、答えを見た直後なら簡単に解けることがあります。しかし、それは理解したのではなく、面の位置を覚えているだけかもしれません。

そこで、間違えた問題は翌日と1週間後に解き直します。翌日は、実物を使わず、矢印や記号で同じ問題を解きます。1週間後は、配置や記号が少し異なる類題を解きます。

同じ問題では、折る手順を再現できるかを確認します。類題では、形が変わっても同じ考え方を使えるかを見ます。

すべての問題を繰り返す必要はありません。感覚で答えた問題、自力で始められなかった問題、辺や頂点を取り違えた問題を優先しましょう。

時間を空けた復習で正しく説明できれば、展開図の考え方が定着しています。

まとめ

中学受験算数の展開図ができないのは、生まれつき空間認識力が低いからとは限りません。六面を一度に動かそうとする、面・辺・頂点の対応を頭の中だけで処理する、展開図の形を暗記していることが主な原因です。

まずは、動かさない基準面を一つ決めましょう。その周りの面を一枚ずつ起こし、重なる辺と頂点には同じ記号をつけます。辺の両端の向きまで確認することが大切です。

家庭では、紙で作る前に答えを予想し、組み立てた後に間違えた理由を確認します。その後、矢印と書き込みで面の動きを見える化し、最終的には実物なしで解ける状態へ移行してください。

入試対策では、向かい合う面、重なる辺・頂点、サイコロ、最短距離などをパターン別に整理します。間違えた原因を一言で記録し、翌日と1週間後に解き直すことで定着を確認しましょう。

展開図は、感覚だけで解く単元ではありません。見る順番と印の付け方を身につければ、「できない」状態から抜け出し、安定して得点できる単元へ変えられます。