中学受験算数｜立体の切断を基本から解説

中学受験算数の切断は何を考える問題か

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の立体の切断で最初に理解したい考え方と、家庭でも教えやすい解法手順を順に解説します。

切断面は立体を切ったときに現れる平面

立体の切断とは、立方体や直方体などを、1枚の平らな面で切る問題です。切ったときに現れる新しい面を「切断面」、その輪郭となる図形を「切り口」と呼びます。

たとえば、食パンを包丁で切ると、切った場所に長方形や正方形の面が現れます。きゅうりを斜めに切れば、切り口は円より横に長い形になります。このように、同じ立体でも切る位置や向きによって、現れる切り口は変わります。

中学受験算数では、立方体の辺上にある3点などを通る平面で切ったとき、切り口が何角形になるか、どの辺を通るか、切断後の体積はいくらかを考えます。

切断問題が苦手な子は、立体の内部を頭の中だけで想像しようとしがちです。しかし、最初に行うべきことは想像ではありません。与えられた点を確認し、切断面が通る線を立体の表面へ順番に描くことです。

切る平面は立体の内部までまっすぐ続く

切断問題で最も大切なのは、切る面が途中で曲がらないと理解することです。

立方体の表面には複数の面がありますが、実際に切っているのは1枚の平面です。そのため、ある面で引いた線は、辺を越えた先の面にも連続して続きます。

子どもが切り口を描けないときは、点と点を自由につないでいることがあります。しかし、切断面が立体の各面と交わってできる線は、すべて直線です。また、1つの面の上では、切断面が通る点が2つ分かれば、その2点を結ぶ線が決まります。

家庭では、厚紙を1枚の平面に見立てて、箱へ斜めに当ててみると分かりやすいでしょう。厚紙は箱の途中で折れません。箱の内部を通り、反対側までまっすぐ続きます。

この「1枚の平面が立体全体を貫いている」という感覚が、切断問題を理解する土台です。

切り口を完成させてから計算へ進む

切断問題では、切断後の体積や切り口の面積を求めることがあります。そのため、問題を見てすぐ計算を始める子もいます。

しかし、切り口の形が分からないまま式を作ることはできません。どの頂点が残るのか、どの部分が切り取られるのか、切断後の立体が三角すい・四角すい・柱体などのどれになるかが不明だからです。

基本の順番は、「点を確認する→切り口を描く→切断後の立体を分ける→計算する」です。

たとえば、立方体の1つの頂点付近を3点を通る平面で切り落とすと、切り取られる部分が三角すいになることがあります。この形を確認してから、底面積と高さを使って体積を求めます。

切断問題では、図を完成させる作業そのものが解法の中心です。計算力だけでなく、計算できる形へ図を整理する力が問われています。

立体の切断を解く基本手順

手順1｜切断面が通る点へ印をつける

最初に、問題文で指定された点を見取り図へ正確に書き込みます。

頂点を通る場合はその頂点へ印をつけ、辺の中点や辺を何対何に分ける点なら、位置関係が分かるように記号を書きます。点をA・B・Cと名付けると、どの点を結ぶのか整理しやすくなります。

ここで注意したいのは、見取り図の見た目だけで中点を決めないことです。斜めに描かれた辺でも、問題文で中点と指定されていれば、その辺を等しく2つに分ける点です。

切断面を決めるには、一直線上にない3点が基本になります。3本脚のいすが安定するように、3点が決まれば1枚の平面の向きも決まります。

家庭では、子どもが線を引き始める前に、「切断面が必ず通る点はどれ？」と確認してください。点の位置が間違っていれば、その後の切り口もすべてずれてしまいます。

手順2｜同じ面にある2点を直線で結ぶ

切断面が通る点を確認したら、同じ面の上にある2点を探して直線で結びます。

これが切断問題の最重要ルールです。立方体の正面にAとBがあるなら、AとBを結びます。右側の面にBとCがあるなら、BとCを結びます。

反対に、同じ面にない2点を、立体の表面を無視して直接結んではいけません。線が立体の内部を通っているように見えても、その線がどの面との交線なのか分からないからです。

「同じ面にある2点だけを結ぶ」と覚えると、最初の線を引きやすくなります。

ただし、ある面に点が1つしか見つからない場合もあります。そのときは、別の面で線を伸ばし、新しい交点を見つけてから戻ります。切り口は立体の周囲を一周して閉じるため、線を順に追えば必要な点が現れます。

手順3｜向かい合う面の平行関係を使う

立方体や直方体では、向かい合う面が平行です。同じ1枚の切断面が、平行な2面を切ってできる線も平行になります。

たとえば、立方体の上面に切り口の線が引けていて、その向かい側である底面にも切り口が現れる場合、2本の線は平行です。この性質を使えば、点が1つしか分からない面でも、線の向きを決められることがあります。

ただし、どの線でも平行になるわけではありません。「互いに平行な面にできる2本の切断線」という条件が必要です。

子どもには、「上の面と下の面は平行だから、そこにできる切り口の線も同じ向きになる」と説明すると理解しやすいでしょう。

この平行関係は、基本問題から難関校の問題まで繰り返し使います。同じ面上の2点を結ぶ方法と合わせて、切断問題の二本柱として覚えてください。

手順4｜線をつないで切り口を閉じる

切り口は、三角形・四角形・五角形・六角形などの閉じた図形になります。途中で線が途切れたままになることはありません。

線を1本引いたら、その終点がある辺の隣の面へ移ります。その面で新しい交点を探し、次の線を引きます。この作業を続け、最初の点へ戻れば切り口の完成です。

切り口の頂点は、切断面が立体の辺と交わる場所にできます。したがって、立方体の面の途中で突然折れ曲がることはありません。

完成後は、切り口の辺を順に指でたどり、「AからB、BからD、DからC、CからA」と一周できるか確認しましょう。

一周できない場合は、線が足りないか、同じ面にない点を結んでいる可能性があります。計算へ進む前に、必ず閉じた図形になっているかを点検してください。

中学受験算数でよく出る切断問題

立方体の3点を通る切り口を求める問題

最も基本的なのは、立方体や直方体の3点を通る平面で切ったとき、切り口を描く問題です。

3点が同じ頂点の近くにあり、それぞれ異なる3本の辺上にある場合、切り口は三角形になることがあります。一方、3点の位置によっては、切断面がさらに別の辺を通り、四角形や五角形になる場合もあります。

重要なのは、与えられた点の数と切り口の頂点の数が必ず同じではないことです。3点で平面は決まりますが、その平面が立体のほかの辺とも交われば、新しい頂点が加わります。

「3点を通るから三角形」と決めつけず、線を面ごとにつないで一周させましょう。

切り口が完成したら、何角形かを確認します。立方体を1枚の平面で切った切り口は、最大で六角形になりますが、基本学習ではまず三角形と四角形を正確に描けることを目標にします。

切断後の立体の体積を求める問題

切り口を描いた後、切り取られた部分や残った部分の体積を求める問題も頻出です。

基本は、切断後の立体を、三角すい、四角すい、三角柱などの計算できる形として捉えることです。

たとえば、1辺6cmの立方体の1つの頂点から伸びる3本の辺の中点を通って切るとします。切り取られる部分は、互いに直角な3本の辺の長さがそれぞれ3cmの三角すいです。

底面を直角三角形と考えると、その面積は3×3÷2＝4.5平方cmです。高さは残りの方向の3cmなので、体積は4.5×3÷3＝4.5立方cmとなります。

三角すいの体積は「底面積×高さ÷3」です。ただし、公式を使う前に、どこを底面とし、どの長さがその面に垂直な高さなのかを図で確認してください。

切り口の面積や体積比を求める問題

難度が上がると、切り口の面積、切断された2つの立体の体積比、切断面上の辺の長さなどが問われます。

切り口が三角形なら、底辺と高さを求めて面積を計算します。ただし、見取り図上で直角に見えても、実際に直角とは限りません。直角・平行・同じ長さなどは、立方体の性質や問題文の条件から判断します。

体積比では、相似が使われることがあります。頂点を共有する相似な三角すいや角すいでは、対応する長さの比が1：2なら、体積比は1³：2³＝1：8です。

このような発展問題でも、最初に必要なのは正確な切り口です。切り口を描けないまま、相似や比だけで解こうとすると、対応関係を取り違えやすくなります。

まず図を完成させ、次に形と長さの関係を整理し、最後に面積や体積を計算する順番を守りましょう。

家庭でできる切断問題の理解と復習

粘土や豆腐を切って切り口を確認する

切断面をイメージできない子には、実物を切る経験が効果的です。粘土、消しゴム、豆腐、スポンジなど、立方体に近い形を用意します。

3本の辺に点をつけ、その点を通るように糸や輪ゴムをかけると、切断面の位置を確認できます。その面に沿って切れば、切り口が現れます。

実物を使うと、切り口が立体の表面だけでなく、内部をまっすぐ通っていることを理解しやすくなります。

ただし、実物を切って終わりにしてはいけません。切る前の立体の絵へ戻り、どの点とどの点を結べば、実物と同じ切り口になるかを描かせましょう。

実物で見た形を見取り図へ戻すことで、操作が入試で使える解法へ変わります。

間違いを点・線・計算に分けて直す

切断問題の間違いは、「点・線・計算」の3つに分けると原因が見えやすくなります。

点のミスは、中点や比で分ける点の位置を間違えた場合です。線のミスは、同じ面にない点を結んだり、平行関係を使えなかったりした場合です。計算のミスは、切り口は正しいものの、体積や面積の式を間違えた場合です。

問題番号の横に「点・線・計」と書くだけでも、弱点が分かります。

点のミスが多いなら、問題文の条件を図へ書き込む練習をします。線のミスなら、「同じ面上の2点を結ぶ」を徹底します。計算のミスなら、切断後の立体に名前をつけ、底面と高さを確認します。

すべてを「切断が苦手」でまとめず、直す場所を絞ることが効率的な復習につながります。

翌日は切り口だけを白紙から再現する

切断問題の解説には、完成した切り口が描かれています。それを見ると理解した気になりますが、翌日に自力で同じ線を引けるとは限りません。

間違えた問題は、翌日に計算まで解き直さなくても構いません。見取り図を白紙へ描き、与えられた点を記入し、切り口だけを再現します。

その際、「最初に同じ面上のどの2点を結んだか」「次にどの面へ移ったか」を声に出して説明させましょう。

3日後には切断後の立体の形を確認し、1週間後に体積や面積まで解き直します。復習を分ければ、1回の負担を抑えながら定着を確かめられます。

答えの数値よりも、切り口を作る順番を再現できることが、本番で使える理解です。

まとめ

中学受験算数の立体の切断では、1枚の平面が立体の内部をまっすぐ通り、その平面と立体の表面が交わって切り口ができます。

解くときは、最初に切断面が通る点へ印をつけます。次に、同じ面上にある2点を直線で結びます。向かい合う平行な面では、切断線も平行になる性質を使い、線を一周させて切り口を閉じましょう。

切り口を完成させる前に、体積や面積の計算を始めてはいけません。切断後の立体を、三角すい・角すい・柱体などの計算できる形として確認してから式を作ります。

家庭では、粘土や豆腐などを実際に切り、現れた切り口を見取り図へ戻す練習が効果的です。間違いは点・線・計算に分け、翌日は切り口だけを白紙から再現してください。

立体の切断は、特別な空間認識だけで解く単元ではありません。「点を確認する」「同じ面の2点を結ぶ」「平行を使う」「切り口を閉じる」という順番を守れば、苦手な子でも着実に理解できます。

保護者は答えの線を先に教えるのではなく、「同じ面にある点はどれ？」「この線は次のどの面へ続く？」「切り口は一周している？」と問いかけてください。考える手順が定着すれば、切断は見えない面を勘で想像する問題から、根拠を持って線を引ける問題へ変わります。