中学受験算数「場合の数」応用問題の攻略法

中学受験算数「場合の数」の応用で止まる原因

この記事では、中学受験算数「場合の数」の応用問題でつまずく原因と、家庭で応用力を伸ばす具体的な手順を解説します。

場合の数の基本問題では、書き出しや樹形図を使って、条件に合う並べ方や選び方を数えます。しかし、応用問題になると、「隣り合う」「少なくとも一つ含む」「同じものを使わない」など、複数の条件が加わります。

そのため、基本問題で使った式をそのまま当てはめるだけでは解けません。

場合の数の応用で必要なのは、難しい公式を増やすことではなく、条件を一つずつ整理し、数える範囲が重ならないように分ける力です。考える順番が分かれば、複雑に見える問題も基本問題の組み合わせとして処理できます。

基本の解き方をそのまま当てはめている

基本問題では、選べる数を順にかけるだけで答えが出ることがあります。

例えば、異なる4人を一列に並べる方法は、最初の場所が4通り、次が3通り、その次が2通り、最後が1通りなので、4×3×2×1＝24通りです。

しかし、「AさんとBさんが隣り合う」という条件が加わると、同じ式は使えません。AさんとBさんを一つのまとまりとして考える必要があります。

応用問題で手が止まる子は、知っている計算を探すことから始めがちです。ところが大切なのは、「基本問題と何が違うか」を見つけることです。

問題文の条件に線を引き、その条件によって選び方がどう制限されるかを確認しましょう。

複数の条件を同時に処理しようとしている

応用問題には、二つ以上の条件が含まれることがあります。

例えば、「0・1・2・3・4から異なる3枚を使い、300より大きい偶数を作る」という問題では、百の位、一の位、数字の重複という三つの条件を考えます。

これらを同時に頭の中で処理すると、選べる数字を見落としやすくなります。

まず、偶数なので一の位を固定する方法と、300より大きいので百の位を固定する方法のどちらが整理しやすいかを考えます。その後、一つの場合ごとに残りの数字を選びます。

条件は一度に処理せず、「最初に何を決めるか」「その後に何が残るか」と段階を分けることが重要です。

数え方を途中で変えてしまう

場合の数では、途中で数える基準を変えると、漏れや重複が発生します。

例えば、A、B、C、Dの4人から2人を選ぶ問題で、最初はAと組む相手を調べ、途中から思いついた組み合わせを書き始めると、ABとBAを二度数える可能性があります。

応用問題ほど、一つの基準を最後まで守る必要があります。

場合分けをするなら、百の位が3の場合、4の場合というように、重ならない基準を決めます。人の選び方なら、Aを含む場合、Aを含まない場合と分けてもよいでしょう。

「どの基準で分けたか」を問題用紙に書くと、途中で数え方が変わるのを防げます。

場合の数の応用問題を解く4つの考え方

条件の強いものから先に固定する

応用問題では、選べるものを大きく制限する条件から先に考えます。

偶数を作るなら一の位、500より大きい整数なら百の位、Aさんを端に置くならAさんの場所から決めます。

例えば、0・1・2・3の異なる3枚を使って3けたの偶数を作る場合、一の位は0または2です。

一の位が0なら、百の位は1・2・3の3通り、十の位は残り2通りなので、3×2＝6通りです。一の位が2なら、百の位に0は置けないため1または3の2通り、十の位は残り2通りで、2×2＝4通りです。

合計は6＋4＝10通りになります。

条件の強い場所を固定すると、その後の選択肢が見えやすくなります。

重ならないように場合分けする

場合分けとは、条件に合うものをいくつかのグループに分けて数える方法です。

重要なのは、それぞれのグループが重ならず、すべての場合を含んでいることです。

例えば、4人から2人を選び、「Aさんを含む組」を数える場合、Aさんと組む相手はB、C、Dの3通りです。

全体を調べるなら、「Aを含む場合」と「Aを含まない場合」に分けられます。Aを含まない場合は、B、C、Dから2人を選ぶので3通りです。合計6通りになります。

分け方が曖昧だと、同じ場合を二つのグループで数えることがあります。場合分けの見出しをノートに書き、それぞれが重なっていないか確認しましょう。

全体から条件に合わない場合を引く

条件に合う場合を直接数えるのが大変なときは、全体から条件に合わない場合を引きます。

この考え方は、「少なくとも一つ」「一回以上」「すべて同じではない」といった表現がある問題で有効です。

例えば、赤・青・黄の3色を使って3か所を塗り、「少なくとも1か所は赤にする」方法を考えます。同じ色を何度使ってもよいとすると、条件を考えない全体は3×3×3＝27通りです。

赤を一度も使わない場合は、青と黄の2色だけで塗るので2×2×2＝8通りです。

したがって、少なくとも1か所に赤を使う方法は、27－8＝19通りです。

条件に合うものが多い場合は、反対の少ない場合を数えた方が簡単になります。

小さな例から規則を見つける

数字が大きい問題や図形の数え上げでは、いきなりすべてを調べようとしないことが大切です。

例えば、何個かの点を線で結んでできる線分の本数を考える問題では、点が3個、4個、5個の場合を順に調べます。

一つの点からほかの点へ線を引くと、点が増えるたびに新しい線が何本増えるかが見えてきます。

ただし、AからBへ引く線とBからAへ引く線は同じです。単純に点の数をかけると二重に数えるため、重複を除く必要があります。

小さな例では、実際に書き出して答えを確認できます。そこで見つけた規則を、大きな数の場合へ広げましょう。

中学受験で頻出する場合の数の応用パターン

条件つきの並べ方はまとまりを作る

「AとBが隣り合う」という問題では、AとBを一つのまとまりとして考えます。

A、B、C、Dの4人を並べ、AとBが隣り合う場合、ABのまとまり、C、Dの三つを並べるので、3×2×1＝6通りです。

ただし、まとまりの中にはABとBAの2通りがあります。そのため、6×2＝12通りです。

一方、「AとBが隣り合わない」という問題では、全体24通りから、隣り合う12通りを引けば12通りと求められます。

条件を直接満たす並べ方が数えにくいときは、まとまりを作る方法と全体から引く方法を比べましょう。

選び方は重複と役割の有無に注意する

人を選ぶ問題では、役割があるかどうかで数え方が変わります。

5人から代表を2人選ぶだけなら、A・BとB・Aは同じ選び方です。しかし、委員長と副委員長を選ぶなら、Aが委員長でBが副委員長の場合と、その反対は別です。

応用問題では、「少なくとも女子を1人含む」「同じ学年から2人選ばない」などの条件が加わります。

少なくとも女子を1人含む場合は、女子1人と男子1人、女子2人というように場合分けする方法があります。全体から男子だけを選ぶ場合を引く方法も使えます。

どちらが短く、重複なく数えられるかを判断しましょう。

整数問題は位と倍数の条件から考える

整数を作る応用問題では、0の扱い、数字の重複、偶数や倍数の条件に注意します。

偶数なら一の位、5の倍数なら一の位が0か5、3の倍数なら各位の数字の和に注目します。

例えば、0・1・2・3・4から異なる3枚を使って3の倍数を作る場合、最初に3枚の数字の和が3の倍数になる組を探します。その後、選んだ3枚を並べます。

ただし、0を含む組では、0を百の位に置けません。

「数字を選ぶ段階」と「選んだ数字を並べる段階」を分けると、複雑な条件を整理しやすくなります。

道順や図形では通過点を基準に分ける

道順問題では、必ず通る点、通ってはいけない点、どちらか一方を通る点などが条件になります。

必ずP地点を通るなら、出発点からPまでの道順と、Pから目的地までの道順を別々に求め、最後にかけます。

PまたはQのどちらかを通る場合は、Pを通る場合とQを通る場合に分けます。ただし、両方を通る道順が重なって数えられていないか確認が必要です。

図形の数え上げでも、小さい三角形、中くらいの三角形、大きい三角形というように、大きさを基準に場合分けします。

見た目だけで探すのではなく、通過点、大きさ、向きなど、数える基準を先に決めましょう。

場合の数の応用力を家庭で伸ばす方法

基本問題を8割以上安定させてから進む

応用問題へ進む前に、基本的な書き出し、樹形図、表を自力で使えるか確認します。

目安は、基本問題を5問解いて4問以上正解できることです。さらに、「何を固定したか」「順番を区別したか」を説明できる必要があります。

基本で数え漏れが続く状態では、応用問題の条件整理まで手が回りません。

難しい問題を経験させることより、基本の整理方法を安定させる方が、結果として応用への近道になります。

一問を複数の方法で解き比べる

応用力を伸ばすには、答えを出して終わりにせず、別の数え方がないか考えます。

「少なくとも一つ含む」問題なら、条件に合うものを場合分けする方法と、全体から一つも含まない場合を引く方法を比べます。

どちらも同じ答えになれば、数え方への理解が深まります。

すべての問題で複数解法を求める必要はありません。週に1問程度、解き方を比べる時間を作るだけでも効果があります。

間違いを場合分け・重複・条件に分類する

応用問題の間違いは、単なる計算ミスだけではありません。

場合分けが足りない、二つのグループが重なっている、条件を一つ使っていないという失敗が多く見られます。

解き直しノートには、「場合分け」「重複」「条件」「計算」と原因を書きましょう。

例えば答えが多すぎるなら重複、少なすぎるなら場合分けの不足、答えが大きくずれているなら条件の見落としを疑います。

原因を言葉にすると、次の問題で注意する点が明確になります。

1回20分で翌日と1週間後に解き直す

場合の数の応用問題は、一問に時間がかかります。家庭学習では1回20分程度、1～2問に絞りましょう。

解説を読んだ後は、式だけでなく、場合分けの見出しや書き出し方まで白紙に再現します。

翌日は同じ問題を解き直し、1週間後には数字や条件を変えた類題を解きます。

答えを覚えているだけでは、応用力がついたとはいえません。条件が変わっても、自分で固定するものや場合分けの基準を決められるかを確認してください。

まとめ

中学受験算数「場合の数」の応用問題では、基本の計算を速く行う力より、複数の条件を整理する力が求められます。

最初に、偶数の一の位や並び方の固定位置など、条件の強いものから決めましょう。その後、重ならない基準で場合分けし、それぞれを漏れなく数えます。

「少なくとも一つ」という条件では、全体から一つも含まない場合を引く方法も有効です。数字が大きい問題では、小さな例を書き出して規則を探します。

頻出するのは、隣り合う人をまとまりにする問題、役割のある選び方、倍数になる整数、通過点のある道順などです。どの問題でも、条件を一度に処理せず、段階に分けることが大切です。

家庭では、基本問題を5問中4問以上解けるようになってから応用へ進みましょう。一問を別の方法でも解き、間違いを場合分け・重複・条件・計算に分類します。

場合の数の応用は、特別な公式を覚えれば解けるものではありません。何を固定し、どう分け、どの範囲を数えたかを明確にすることで、複雑な問題にも落ち着いて対応できるようになります。