偏差値50から伸ばす中学受験「場合の数」

中学受験算数で偏差値50の子が場合の数につまずく原因

この記事では、中学受験算数で偏差値50前後の子が場合の数につまずく原因と、家庭で安定した得点につなげる学習法を解説します。

偏差値50前後の子は、場合の数をまったく理解していないとは限りません。樹形図やかけ算の使い方を知っていて、授業の例題なら解けることも多いでしょう。

それでもテストになると、数え漏れや重複、条件の見落としによって失点します。難問が解けないことより、本来取れる基本・標準問題を落としていることが課題です。

場合の数で点数を伸ばすには、発展問題を増やすより、数える基準と順番を安定させる必要があります。正しい方法を繰り返し再現できれば、偏差値50前後からでも十分に得点源にできます。

解き方を知っていても整理の順番が安定しない

偏差値50前後の子によく見られるのが、解き方を知っているのに、問題ごとに数え方が変わる状態です。

例えば、1・2・3・4の数字から異なる2枚を使い、2けたの整数を作る問題を考えます。

十の位を1に固定すれば、12、13、14の3通りです。同じように十の位を2、3、4と順番に変えれば、全部で12通りになります。

ところが、思いつく順に12、21、34、13などと書くと、何を数えたか分からなくなります。解法を知らないのではなく、同じ基準を最後まで守れていないのです。

家庭学習では、正解数だけでなく、「何を固定したか」「どの順番で書いたか」を確認しましょう。

基本問題と応用問題の見分けがついていない

偏差値50前後では、難しい問題に時間を使いすぎることもあります。

場合の数には、書き出しだけで解ける基本問題から、複数の条件を場合分けする難問まであります。すべてを同じように解こうとすると、基本問題でも考え込みやすくなります。

まず取るべきなのは、数字の並べ方、簡単な人の並べ方、2つのものの組み合わせ、基本的な道順などです。

「少なくとも」「隣り合わない」「同じものを含まない」など、条件が複数重なる問題は、その後に扱います。

得点を伸ばすには、難問を解けることより、標準問題までを短時間で正確に処理できることが重要です。

正解した問題を理解済みと判断している

場合の数は、偶然答えが合いやすい単元です。

思いつくまま書いた結果、たまたま漏れがなければ正解になります。しかし、数字や条件が変わると同じ方法では解けません。

正解した場合も、「なぜその数になるのか」を説明させましょう。

「十の位を固定して数えた」
「ABとBAは別の並び方として数えた」
「同じ2人を選ぶだけなので順番を区別しなかった」

このように説明できれば、考え方を理解しています。答えだけを覚えている場合は、類題で同じ手順を再現できません。

偏差値50から上を目指すには、丸かバツかだけでなく、正解までの過程を見る必要があります。

偏差値50で優先したい場合の数の基本問題

数字を並べて整数を作る問題

数字カードを使って整数を作る問題は、場合の数の基本です。

まずは、異なる数字から2けたや3けたの整数を作る問題を安定させます。最も上の位を固定し、残りの数字を小さい順に並べることが基本です。

0を含む場合は、最高位に0を置けない点に注意します。

例えば、0・1・2・3から異なる3枚を使って3けたの整数を作るなら、百の位は1・2・3の3通りです。十の位は残り3通り、一の位は残り2通りなので、3×3×2＝18通りです。

偶数を作る問題では一の位、300より大きい数を作る問題では百の位というように、条件の強い位から決める練習も行いましょう。

人や物の並べ方を求める問題

人や物を一列に並べる問題では、順番が変わると別の並び方になります。

A、B、Cの3人を一列に並べるなら、最初の場所は3通り、次は残り2通り、最後は1通りです。したがって、3×2×1＝6通りになります。

最初から式を暗記させるのではなく、ABC、ACB、BACなどを実際に書き出し、6通りになることを確認してください。

その後、「Aを左端にする」「Bを真ん中にする」といった条件つきの問題へ進みます。

条件のある人や場所を先に固定すると、残りを並べるだけになります。基本問題では、この固定する考え方を身につけることが目標です。

順番を考えずに選ぶ問題

人や物を選ぶだけの問題では、順番を区別しません。

4人から2人を選ぶ場合、AとBを選ぶことと、BとAを選ぶことは同じです。

Aと組む相手をB、C、Dと書きます。次にBを見ると、Aとの組み合わせはすでに数えたため、C、Dだけを調べます。続けると、全部で6通りです。

偏差値50前後では、並べ方と選び方の混同による失点が少なくありません。

「入れ替えたら違う結果になる？」と確認し、違えば別々、同じなら一つとして数える習慣をつけましょう。

表や樹形図で整理する問題

場合の数では、問題に合った整理方法を選ぶ力も必要です。

選択肢が順番に続く問題には樹形図が向いています。上着が2種類、ズボンが3種類なら、上着から枝を伸ばし、それぞれに3種類のズボンをつなげます。

2つの条件を組み合わせる問題には表が便利です。2個のさいころの目の和や、料理と飲み物の組み合わせなどを、縦と横に整理できます。

偏差値50前後では、計算だけで解こうとせず、書き出しや図を使って確実に数えることを優先しましょう。

整理方法を使った結果から規則を見つけ、その後に式へまとめる流れが大切です。

場合の数を偏差値50から伸ばす3段階学習

第1段階はすべて書き出して考える

最初の段階では、選択肢が少ない基本問題をすべて書き出します。

時間がかかるように見えますが、何を1通りとして数えるのかを理解するために必要な作業です。

書き出すときは、数字の小さい順や名前の五十音順など、一定の順序を守ります。

例えば、1・2・3から2枚を並べるなら、最初を1、2、3の順に固定します。思いつく順に書かせないことが重要です。

5問中4問以上、漏れや重複なく書き出せるようになるまでは、計算だけで処理させない方がよいでしょう。

第2段階は規則を見つけて式にまとめる

書き出しが安定したら、同じ数のまとまりを計算にまとめます。

1・2・3・4から異なる2枚を並べる場合、最初の数字は4通りです。それぞれについて、次の数字は残り3通りあります。

したがって、4×3＝12通りです。

式を作るときは、「4と3は何を表しているのか」を説明させましょう。

上着2種類とズボン3種類なら、上着の選び方が2通り、それぞれにズボンが3通りあるため、2×3になります。

数字だけの式ではなく、選択の意味と結びつけることで応用しやすくなります。

第3段階は条件つきの標準問題へ進む

基本の書き出しと計算が安定したら、条件が一つ加わる標準問題へ進みます。

「偶数を作る」「Aさんを端に置く」「同じ数字を使わない」などの問題です。

ここでは、条件のある部分を先に固定します。偶数なら一の位、Aさんを端に置くならAさんの位置から決めます。

最初から「少なくとも1つ」「隣り合わない」などの複雑な問題へ進む必要はありません。

条件が一つの問題を5問中4問程度正解できるようになってから、条件が二つある問題へ進みましょう。段階を飛ばさないことが、偏差値50から伸びる近道です。

家庭で場合の数を得点源に変える方法

1日15分で同じ形式を3問解く

家庭学習では、1日15分、同じ形式を3問程度に絞ります。

月曜日は2けたの整数、火曜日は3けたの整数、水曜日は偶数を作る問題というように、近い形式を続けましょう。

毎日違う問題を解くより、共通する考え方に気づきやすくなります。

3問すべて正解することより、自分で整理方法を選び、同じ順番で数えられることを目標にしてください。

間違いを漏れ・重複・条件に分ける

場合の数の間違いは、主に数え漏れ、重複、条件の見落としに分けられます。

正解より答えが少ないなら漏れ、多いなら重複を疑います。大きくずれている場合は、「異なる数字を使う」「0は先頭に置けない」などの条件を見落としている可能性があります。

解き直しノートには、「漏れ」「重複」「条件」と原因を書きましょう。

原因が分かれば、次に何を注意すればよいかが明確になります。「場合の数が苦手」と一括りにしないことが大切です。

答えではなく数え方を説明させる

家庭での丸つけでは、正解した問題についても考え方を聞きます。

「最初に何を固定した？」
「順番を入れ替えたら同じ？」
「なぜかけ算を使った？」

この3つを確認するだけでも、理解の深さが分かります。

保護者が解き方を長く説明するより、子どもに手順を短く話させる方が効果的です。

説明できない場合は、答えが合っていても類題をもう1問解きましょう。

翌日と1週間後に解き直す

間違えた問題は、解説を読んで終わりにしません。

翌日に同じ問題を白紙から解き、1週間後には数字や条件を変えた類題を解きます。

翌日は解き方を思い出せるか、1週間後は考え方を別の問題に使えるかを確認するためです。

前回の樹形図や表を見ながら解けても、自力で再現できたことにはなりません。

何も見ずに一つを固定し、決めた順番で数えられるようになれば、場合の数が安定し始めています。

まとめ

中学受験算数で偏差値50前後の子が場合の数を伸ばすには、難問よりも基本・標準問題の正答を安定させることが重要です。

まずは、数字を並べる問題、人や物の並べ方、順番を考えない選び方、表や樹形図で整理する問題を優先しましょう。

学習は、すべて書き出す、規則を見つけて式にまとめる、条件が一つある標準問題へ進むという3段階で行います。

家庭学習は1日15分、同じ形式を3問程度で十分です。間違いを漏れ・重複・条件の見落としに分け、答えではなく数え方を説明させてください。

翌日と1週間後に白紙から解き直し、同じ手順を再現できれば理解が定着しています。

偏差値50から点数を伸ばすために、難しい公式や大量演習は必要ありません。取るべき問題を確実に取り、数える基準と順番を安定させることが、場合の数を得点源に変える近道です。