受験算数のつるかめ算｜出題傾向と入試対策

受験算数でつるかめ算はどう出題される？

この記事では、そんな悩みに対して、受験算数におけるつるかめ算の出題傾向、問題の見抜き方、家庭で行いたい具体的な入試対策を順番に解説します。

つるかめ算は、中学受験算数を代表する考え方の一つです。ただし、実際の入試で「つるとかめが合わせて何匹」と、そのまま出題されるとは限りません。

料金、得点、人数、重さ、平均などに姿を変え、ほかの単元と組み合わされることもあります。大手進学塾でも、つるかめ算は和や差に注目する算数的発想を身につける内容として扱われ、基本学習後には応用へ広げるカリキュラムが組まれています。

そのため、入試対策では公式を覚えるだけでなく、「どのような条件がそろったときにつるかめ算を使えるか」を判断する力が必要です。

基本形のまま出る問題は確認問題が中心

つるかめ算の基本形は、次のような問題です。

「つるとかめが合わせて20匹います。足の数は全部で56本です。それぞれ何匹いますか」

全部をつるとすると、足は次の本数です。

2×20＝40本

実際との差は16本です。

56－40＝16本

つる1羽をかめ1匹へ替えると、足は2本増えます。

4－2＝2本

したがって、かめは次の匹数です。

16÷2＝8匹

つるは12羽です。

この基本形は、つるかめ算の仕組みを理解しているかを確認する問題として出されます。模試や入試の小問では、短時間で正確に処理できることが求められます。

入試では題材を変えて出題される

入試では、つるやかめではなく、次のような2種類が登場します。

・値段の異なる2つの商品
・大人料金と子ども料金
・正解と不正解
・重い荷物と軽い荷物
・大きい箱と小さい箱
・異なる速さや作業量

題材は違っても、問題の中に「2種類の1つ分」「全体の個数」「全体の合計」があれば、つるかめ算を使える可能性があります。

過去の難関校の解説例でも、図形に含まれる異なる種類の図形の個数や、時間・得点などを求める場面につるかめ算が利用されています。つまり、文章題だけでなく、図形や速さの問題の途中で使われることもあるのです。

典型解法を加工した問題にも注意する

中学入試では、典型的な解法を知っているだけでは解けないように、条件を増やしたり表現を変えたりすることがあります。

学校側の出題者へのインタビューでも、典型問題がアレンジされ、加工や深掘りをされることがあると説明されています。

例えば、最初から全体の個数が分かっているとは限りません。割合や平均を使って全体数や合計量を求めた後、つるかめ算へ進む問題があります。

また、2種類ではなく3種類が登場し、条件を使って最初に2種類へ整理しなければならない場合もあります。

「公式に数字を当てはめる問題」と考えず、どの条件をそろえれば基本形に戻せるかを見ることが重要です。

つるかめ算の代表的な出題傾向

料金や個数を求める買い物問題

最も基本的な変形が、料金問題です。

「1個120円のノートと1個180円のファイルを合わせて15個買い、代金は2280円でした。それぞれ何個買いましたか」

全部を120円のノートと考えます。

120×15＝1800円
2280－1800＝480円
180－120＝60円
480÷60＝8個

ファイルは8個、ノートは7個です。

この形式では、「安い方ですべてそろえる」「実際の方がいくら多いかを調べる」という流れが使えます。

個数を求めた後は、必ず合計金額へ戻して検算しましょう。

正解・不正解を扱う得点問題

得点問題も頻出の形です。

「20問のテストで、正解は5点、不正解は2点です。すべて答えて合計79点でした。正解は何問ですか」

全部を不正解と考えます。

2×20＝40点
79－40＝39点
5－2＝3点
39÷3＝13問

正解は13問です。

注意したいのは、不正解で減点される場合です。

正解が5点、不正解が3点減点なら、正解と不正解の入れ替えによる変化は5－3＝2点ではありません。

不正解のマイナス3点がなくなり、さらに5点が加わるため、1問当たり8点変化します。

5－（－3）＝8点

小学生には、「失った3点が戻り、さらに5点もらえる」と説明すると理解しやすくなります。

平均から合計を求める問題

平均を含む問題では、つるかめ算に必要な合計が直接書かれていないことがあります。

「40円の商品と70円の商品を合わせて20個買ったところ、平均は1個58円でした」

最初に合計金額を求めます。

58×20＝1160円

これで「全体は20個」「合計は1160円」という条件がそろいました。

あとは全部を40円の商品と考えます。

40×20＝800円
1160－800＝360円
70－40＝30円
360÷30＝12個

70円の商品は12個、40円の商品は8個です。

平均が出てきたら、まず「平均×個数＝合計」に直せないか確認しましょう。

3種類以上が登場する発展問題

発展問題では、3種類の商品や得点が登場することがあります。

つるかめ算は基本的に2種類を扱う考え方なので、そのままでは解けません。まず一つの条件を利用し、3種類を2つのグループへまとめます。

例えば、A・B・Cの3種類があり、「AとBの個数が同じ」と分かっているなら、AとBを1組として考えられる場合があります。

また、Cの個数が別の条件から先に求められるなら、Cを全体から除き、残ったAとBにつるかめ算を使います。

3種類だから全く別の問題なのではありません。「どうすれば2種類に整理できるか」を考えることがポイントです。

入試問題からつるかめ算を見抜く方法

2種類と2つの合計を探す

問題文を読んだら、次の4点に印をつけます。

・何が2種類あるか
・それぞれの1つ分はいくつか
・全部でいくつあるか
・合計量はいくつか

例えば、ノートとファイルの問題なら、2種類はノートとファイル、1つ分は120円と180円、全体個数は15個、合計金額は2280円です。

この4つがそろっていれば、つるかめ算の基本形に近い問題だと判断できます。

問題文が長くても、必要な情報を4項目へ整理すると、余計な条件に惑わされにくくなります。

1つ入れ替えたときの差を考える

つるかめ算を見抜くうえで最も重要なのが、「1つを別の種類へ入れ替えると、全体がいくつ変わるか」という視点です。

120円のノートを180円のファイルへ替えれば、60円増えます。

2点の不正解を5点の正解へ替えれば、3点増えます。

2本足のつるを4本足のかめへ替えれば、2本増えます。

このような一定の変化を何回集めれば、全体の差になるかを考えるのがつるかめ算です。SAPIXの解説でも、この仕組みは「差集め」の考え方として示され、ほかの算数分野につながる重要な発想とされています。

つるかめ算を使う前の計算を見つける

複合問題では、最初から必要な条件がそろっていません。

平均しか分からないなら、平均から合計を出します。全体人数が割合で示されているなら、先に人数を求めます。

問題を読んだら、次の順番で確認しましょう。

1. つるかめ算に必要な4つの条件はそろっているか
2. 足りない条件は何か
3. どの計算をすれば不足した条件を求められるか
4. 条件がそろった後につるかめ算を使えるか

一度にすべての数字を使おうとせず、解法を段階に分けることが大切です。

図や表で条件を整理する

文章だけで整理しにくい場合は、簡単な表を作ります。

種類｜1つ分｜個数｜合計
ノート｜120円｜不明｜不明
ファイル｜180円｜不明｜不明
全体｜―｜15個｜2280円

表にすると、分かっている条件と求めるものがはっきりします。

つるかめ算が苦手な子どもは、計算より前の情報整理で止まっていることがあります。式を教える前に、数字を表へ入れる練習をさせましょう。

出題傾向に合わせた家庭学習の進め方

基本・変形・複合の3段階で練習する

家庭学習は、次の3段階に分けると効果的です。

第1段階は、つるとかめがそのまま出る基本問題です。

第2段階は、料金、得点、人数、重さへ題材を変えた問題です。

第3段階は、平均、割合、過不足、図形などと組み合わせた複合問題です。

基本問題が不安定なまま複合問題を解いても、解説の手順を覚えるだけになりやすいので注意してください。

基本問題を自分の言葉で説明できてから、表現を変えた問題へ進みます。

式の横に数字の意味を書かせる

途中式には、短い説明を添えさせましょう。

120×15＝1800円……全部ノートとした金額
2280－1800＝480円……実際との全体の差
180－120＝60円……1個入れ替えた差
480÷60＝8個……ファイルの個数

式の意味を書けない場合は、手順だけを覚えている可能性があります。

自分の言葉で説明できれば、題材や数字が変わっても解法を再現しやすくなります。

志望校の過去問を題材別に分類する

過去問演習では、正解・不正解だけで終わらせず、つるかめ算がどの題材で使われていたかを記録します。

「料金」「得点」「平均」「図形」「速さ」「3種類」など、簡単な分類で構いません。

3年分から5年分を確認すると、志望校が基本処理を重視するのか、ほかの単元と組み合わせるのかが見えやすくなります。

ただし、過去に出た形だけへ絞りすぎるのは危険です。典型題が加工されることを前提に、同じ数量関係を異なる題材でも見抜く練習を続けましょう。

解けなかった原因に合わせて復習する

間違いは、次の4種類に分けます。

・つるかめ算だと気づかなかった
・必要な条件をそろえられなかった
・1つ分の差を間違えた
・計算や検算でミスをした

気づけなかった場合は、4つの条件を探す練習が必要です。

条件不足で止まった場合は、平均や割合から合計を出す複合問題を復習します。

差を間違えた場合は、具体的に1つを入れ替えたときの変化を言葉にします。

原因に合った復習を行うことで、同じ問題を繰り返すだけの学習より効率よく改善できます。

まとめ｜つるかめ算は形の変化に対応できるようにしよう

受験算数におけるつるかめ算は、基本形だけでなく、料金、得点、人数、重さ、平均などさまざまな形で出題されます。

さらに入試では、割合や図形、速さなどの問題の途中で使われたり、3種類を2種類に整理してから解いたりする場合があります。

問題を見たら、次の4点を確認してください。

2種類は何か
それぞれの1つ分はいくつか
全体の個数はいくつか
全体の合計はいくつか

条件がそろっていなければ、平均や割合などを使って先に不足した情報を求めます。

家庭学習では、基本問題、題材を変えた問題、複合問題の順に進めましょう。正解数だけでなく、「何を全部一方にそろえたか」「1つ入れ替えると何がいくつ変わるか」を説明できるかが重要です。

つるかめ算の出題傾向を知る目的は、問題の形を暗記することではありません。見慣れない題材でも、背後にある2種類の数量と差を見つけるためです。

基本の考え方を確実にし、形を変えた問題を比較しながら練習すれば、入試でも落ち着いてつるかめ算を見抜けるようになります。