中学受験算数の図形攻略｜苦手を克服する勉強法

中学受験算数の図形が難しく感じる理由

この記事では、中学受験算数の図形が難しく感じる理由から、平面図形・立体図形の基本的な考え方、家庭でできる具体的な練習法まで順を追って解説します。

公式を覚えるだけでは解けない

中学受験算数の図形問題では、正方形や三角形の面積公式を覚えているだけでは対応できません。

入試では、図の一部が欠けていたり、複数の図形が重なっていたり、長さが直接示されていなかったりします。そのため、知っている公式をそのまま使うのではなく、「どの部分なら求められるか」「何と何を比べればよいか」を考える必要があります。

例えば、色のついた部分の面積を求める問題でも、直接計算できるとは限りません。大きな長方形から三角形を引く、同じ形を移動する、図形を二つに分けるなど、見方を変える必要があります。

図形が苦手な子は、公式を忘れているのではなく、公式を使える形まで問題を整理できていないことが多いのです。

図の中から必要な条件を見つけにくい

図形問題には、すべての情報が文章で説明されているわけではありません。

平行な線、等しい辺、直角、円の中心、二等辺三角形など、図と記号の両方から条件を読み取る必要があります。

算数が苦手な子は、図全体を眺めるだけで、条件を一つずつ確認していないことがあります。

例えば、二等辺三角形があれば底角は等しくなります。平行線があれば、錯角や同位角が等しくなります。しかし、その関係を図に書き込まなければ、問題を解く途中で忘れてしまいます。

図形問題では、見る力だけでなく、見つけた条件を記録する力が重要です。

頭の中だけで形を動かそうとしている

立体図形や図形の移動では、形を回転させたり、切ったり、展開したりする場面があります。

このとき、頭の中だけで完成形を想像しようとすると混乱しやすくなります。

特に、立方体の展開図、立体の切断、図形の回転移動は、見えない面や辺を同時に考えなければなりません。

得意な子も、最初からすべてを頭の中で処理しているわけではありません。頂点に記号をつける、動く前と後の図を別々に描く、見えない辺を点線で表すなど、考えやすい形に変えています。

図形問題は、想像力だけで解くものではなく、手を動かして整理する問題です。

中学受験でよく出る図形問題と基本の考え方

角度問題は等しい角と一直線に注目する

角度問題では、最初に等しい角を探します。

二等辺三角形の底角、平行線にできる錯角・同位角、円の半径からできる二等辺三角形などは、中学受験で頻繁に使われます。

次に、一直線の角度が180度、三角形の内角の和が180度であることを使います。

例えば、二等辺三角形の頂角が40度なら、残りの二つの角は同じ大きさです。したがって、180度から40度を引いた140度を2等分し、それぞれ70度と分かります。

難しい角度問題でも、実際にはこのような基本的な関係を順番につないでいることが多いものです。

子どもには、分かった角度をその都度図に書き込ませましょう。頭の中だけで計算すると、同じ角度を何度も考え直すことになります。

面積問題は高さと底辺の関係を整理する

面積問題では、長さをすべて求めようとしないことが大切です。

三角形の面積は、底辺と高さで決まります。そのため、同じ高さを持つ三角形同士では、面積の比は底辺の比と同じになります。

例えば、同じ高さを持つ二つの三角形の底辺が2対3なら、面積も2対3です。

反対に、底辺が同じなら、面積の比は高さの比と同じになります。

この関係を理解すると、具体的な長さが分からなくても面積比を求められます。

また、色のついた部分を直接求めにくい場合は、全体から不要な部分を引く方法も有効です。

「直接求める」「全体から引く」「同じ高さや底辺に注目する」という三つの見方を使い分けることが、面積問題の基本です。

相似と比は対応する辺を正しく見つける

相似は、小学5年生後半から6年生の図形問題で重要になる考え方です。

形が同じで大きさだけが違う図形では、対応する辺の比がすべて等しくなります。

ただし、相似な図形を見つけても、対応する辺を間違えると正しい答えは出ません。

相似を使うときは、等しい角に同じ印をつけ、対応する頂点を順番に確認してください。

例えば、小さい三角形の底辺が3cm、大きい三角形の対応する底辺が6cmなら、長さの比は1対2です。小さい三角形の別の辺が4cmなら、大きい三角形の対応する辺は8cmになります。

面積比を求める場合は、長さの比をそのまま使わない点にも注意が必要です。長さの比が1対2なら、面積比は1対4になります。

相似では、「どの角が同じか」「どの辺が対応するか」「長さか面積か」を順番に確認することが重要です。

立体図形は見える形に分けて考える

立体図形が苦手な子は、一つの複雑な立体として見続けてしまいます。

しかし、入試の立体問題も、直方体、立方体、三角柱、三角すいなど、体積を求められる基本的な形に分ければ考えやすくなります。

例えば、階段状の立体なら、横向きや縦向きに切り分け、複数の直方体として体積を求めます。

立体を切断した問題では、大きな立体から不要な部分を引く方法も使えます。

展開図では、面に記号をつけ、「どの面とどの面が向かい合うか」「どの頂点が重なるか」を確認します。

実物を使える段階では、折り紙や箱を切り開いて確かめても構いません。実物で理解した後に、紙の上だけで再現できるようにすることが大切です。

算数の図形問題を解く正しい手順

分かっている条件を図に書き込む

図形問題を見たら、すぐに式を立てるのではなく、条件を図へ書き込みます。

等しい辺には同じ印、等しい角には同じ記号、平行な線には矢印をつけます。分かっている長さや角度も図の近くに書きます。

問題文に「点Aは辺BCの中点」とあれば、BAとACが等しいことを図に示します。

この作業をすると、文章で与えられた情報が目で見える形に変わります。

条件を書き込むだけで、二等辺三角形や相似な図形に気づくこともあります。

求めるものから逆向きに考える

図形問題では、最初から分かっている数字だけを追うのではなく、求めるものに必要な情報を考えます。

例えば、三角形の面積を求めるなら、底辺と高さが必要です。

高さが分からなければ、面積比を使えないか、全体の面積から引けないかを考えます。

ある辺の長さを求めるなら、相似や比を使えないか、同じ長さになる辺がないかを確認します。

「何が分かれば答えが出るか」と逆向きに考えることで、必要のない計算を減らせます。

補助線は目的を決めてから引く

図形が苦手な子に「補助線を引きなさい」と伝えるだけでは、どこに引けばよいか分かりません。

補助線には目的があります。

三角形を作る、同じ高さの図形を作る、長方形や正方形を完成させる、相似な図形を作る、円の中心と点を結ぶなどです。

例えば、円の中の角度問題で中心と円周上の点を結ぶと、半径が等しい二等辺三角形ができます。

面積問題で対角線を引けば、同じ高さを持つ三角形に分けられる場合があります。

補助線を引く前に、「この線を引くと何ができるのか」を言葉にさせましょう。

目的のない補助線を何本も引くより、一本の意味ある補助線を考えるほうが力になります。

解けないときは図を描き直す

印刷された図が小さい、線が重なっている、形が傾いている場合は、別の紙に描き直すと考えやすくなります。

実際の長さや角度を正確に再現する必要はありません。

必要な条件が見えるよう、大きく簡単に描けば十分です。

複雑な図形なら、注目する部分だけを取り出して描きます。相似な三角形を使うなら、その二つだけを横に並べて描く方法も有効です。

立体図形では、正面、上、横から見た図を別々に描くと、見えない部分を整理しやすくなります。

図を描き直すことは遠回りではありません。難しい情報を、自分が扱える形に変える大切な作業です。

家庭学習で図形を得意にする方法

基本図形を毎日短時間で確認する

図形は、週末にまとめて長時間取り組むより、毎日10分程度触れたほうが基本事項を忘れにくくなります。

角度、面積、相似、円、立体などから、1日2～3問を選びます。

小学4年生なら、三角形・四角形の角度や面積を中心にします。

小学5年生なら、面積比、図形の移動、円を含む図形へ進みます。

小学6年生なら、相似、立体切断、複合図形、過去問に取り組みます。

ただし、学年よりも現在の理解度を優先してください。6年生でも相似の基本が曖昧なら、標準問題へ戻る必要があります。

同じ問題を図から描き直して解く

図形問題の解説を読んだ直後は、答えや補助線の位置を覚えています。

そのため、すぐに解き直して正解しても、本当に理解したとは限りません。

翌日または3日後に、元の図を隠し、自分で簡単な図を描いてから解かせてください。

図を描き直せれば、どの条件が重要かを理解している可能性が高くなります。

さらに、数字や図の向きを少し変えた類題にも取り組むと、解法の丸暗記を防げます。

一つの問題を深く理解することは、新しい問題を何問も解くこと以上に効果的な場合があります。

間違いを原因別に分けて復習する

図形問題の間違いは、主に四つに分けられます。

公式や性質を忘れていた、条件を読み落とした、方針が立たなかった、計算を間違えた、の四つです。

公式不足なら基本事項を確認します。

条件の読み落としなら、問題文と図へ印をつける練習をします。

方針が立たなかったなら、解説の最初の着眼点だけを確認し、もう一度自力で考えます。

計算ミスなら、図形の理解ではなく計算方法を見直します。

「図形が苦手」と一まとめにせず、止まった場所を明確にすることで、必要な対策が分かります。

保護者は答えより着眼点を質問する

子どもが図形問題で止まったとき、補助線や式をすぐ教えると、その場では解けても次の問題で再び止まります。

保護者は、「同じ長さはある？」「同じ高さの三角形はない？」「全体から引けない？」「求めるために何が必要？」と質問してください。

質問は一度に一つだけにします。

子どもが自分で気づいた後は、「どうしてそこに注目したの？」と説明させましょう。

考え方を言葉にすることで、別の問題でも同じ見方を使いやすくなります。

まとめ｜中学受験算数の図形は見方を増やせば伸びる

中学受験算数の図形が難しいのは、公式だけでなく、条件を読み取り、図を整理し、使える形へ変える力が必要だからです。

角度では等しい角と一直線、面積では底辺と高さ、相似では対応する辺、立体では基本的な形への分解に注目します。

問題を解くときは、条件を書き込み、求めるものから逆向きに考え、目的を持って補助線を引きましょう。

解けない場合は、図を大きく描き直したり、必要な部分だけを取り出したりすると、問題の構造が見えやすくなります。

家庭学習では、毎日短時間の基本練習を続け、間違えた問題を数日後にもう一度解いてください。

図形は、生まれつきのひらめきだけで決まる分野ではありません。

「同じものを探す」「分ける」「移動する」「全体から引く」といった見方を一つずつ増やすことで、算数が苦手な子でも着実に得点力を伸ばせます。