中学受験算数の図形問題攻略｜解き方と家庭学習法

中学受験算数の図形問題でつまずく理由

この記事では、中学受験算数の図形問題でつまずく理由を整理し、角度・面積・相似・立体図形の解き方と家庭でできる練習法を順を追って解説します。

図を眺めるだけで条件を書き込んでいない

中学受験算数の図形問題では、図を見ただけで解き方が浮かぶとは限りません。

問題文には、辺の長さ、平行、垂直、中点、円の中心など、解くために必要な条件が書かれています。ところが図形が苦手な子は、文章と図を別々に見てしまい、条件を結びつけられていないことがあります。

例えば、「点Dは辺ABの中点」と書かれていれば、ADとDBは同じ長さです。この条件を図に同じ印で書き込むと、等しい面積や相似な三角形に気づくきっかけになります。

図形問題では、最初から答えを考える必要はありません。まず、分かっていることを図の上へ移すことが第一歩です。

公式を覚えても使う場面を判断できない

三角形や円の面積公式を覚えていても、入試問題ではそのまま使えないことがあります。

例えば、色のついた部分の面積を求める問題でも、その部分の底辺や高さが直接分からない場合があります。

このとき必要なのは、公式を探し続けることではありません。

全体の面積から不要な部分を引く、同じ高さを持つ三角形を比べる、図形を移動して簡単な形にするなど、公式を使える状態へ変えることが必要です。

図形問題が苦手な子は、公式を知らないのではなく、どの部分へ使えばよいかを判断できていないことが多いものです。

目的を決めずに補助線を引いている

「図形問題では補助線を引く」と覚えている子ほど、思いつくまま何本も線を引いてしまうことがあります。

しかし、線を増やすほど図は複雑になり、必要な形が見えにくくなります。

補助線には必ず目的があります。

三角形を作る、長方形を完成させる、同じ高さを作る、相似な図形を作る、円の半径を利用するなどです。

補助線を引く前に、「この線を引いたら何ができる？」と考える習慣が必要です。

目的のない線を5本引くより、意味のある線を1本引けるほうが、図形問題を解く力につながります。

頭の中だけで図形を動かそうとしている

回転移動、展開図、立体の切断などでは、図形を動かして考えます。

このとき、頭の中だけですべてを処理しようとすると混乱しやすくなります。

得意な子も、最初から立体を自由に回転させているわけではありません。

頂点にA・B・Cと記号をつける、動く前と後の図を分けて描く、見えない辺を点線で書くなど、手を動かして考えています。

立体図形では、必要に応じて積み木や紙の模型を使っても構いません。

実物で確認した後、同じことを紙の上で再現できれば、入試問題へつながります。

中学受験でよく出る図形問題の解き方

角度問題は等しい角を順番に見つける

角度問題では、最初に等しい角を探します。

二等辺三角形の底角、平行線にできる錯角や同位角、円の半径からできる二等辺三角形などは、頻繁に使われる関係です。

例えば、二等辺三角形の頂角が40度なら、残りの角は同じ大きさです。

180－40＝140
140÷2＝70

したがって、二つの底角は70度です。

複雑な角度問題も、実際にはこのような基本的な関係を何段階かつないでいます。

分かった角度は、その都度図へ書き込みましょう。頭の中だけで覚えていると、同じ計算を何度も繰り返すことになります。

また、角度問題で止まったときは、新しい線を引く前に、二等辺三角形や平行線が隠れていないか確認してください。

面積問題は直接求める以外の方法も考える

面積問題で大切なのは、求めたい部分を直接計算する方法だけにこだわらないことです。

主な考え方は、次の三つです。

直接求める、全体から引く、面積比を使う方法です。

例えば、正方形の中に複数の三角形があり、色のついた部分の面積を求める場合を考えます。

色部分の底辺や高さが分からなくても、正方形全体の面積から周囲の白い三角形を引けば求められることがあります。

また、同じ高さを持つ三角形では、面積の比は底辺の比と同じです。

底辺が2対3なら、面積も2対3になります。

同じ底辺を持つ場合は、面積比が高さの比と同じです。

長さをすべて求めなくても、比だけで答えに届く問題は少なくありません。

相似問題は対応する辺と面積比を整理する

相似な図形は、形が同じで大きさだけが異なります。

相似問題で最も重要なのは、どの辺とどの辺が対応しているかを間違えないことです。

まず、等しい角へ同じ印をつけます。次に、対応する頂点を同じ順番で確認します。

例えば、小さい三角形と大きい三角形の対応する辺が3cmと6cmなら、長さの比は1対2です。

小さい三角形の別の辺が4cmなら、大きい三角形の対応する辺は8cmになります。

長さの比が1対2の場合、面積比は1対4です。立体であれば、体積比は1対8になります。

長さの比をそのまま面積比の答えにしないよう注意してください。

図の向きが違って分かりにくい場合は、相似な二つの図形だけをノートへ取り出し、同じ向きに並べて描き直すと整理しやすくなります。

立体図形は基本的な形へ分ける

立体図形では、複雑な形をそのまま見続けないことが大切です。

直方体、立方体、三角柱、円柱、三角すいなど、体積を求められる基本的な形へ分けます。

例えば、階段のような立体なら、複数の直方体に分割して、それぞれの体積を足します。

反対に、大きな直方体から欠けている部分を引いたほうが簡単なこともあります。

立体の体積は、基本的に次の考え方を使います。

柱体の体積＝底面積×高さ
すい体の体積＝底面積×高さ÷3

立体を切断する問題では、どこを底面と見るかを変えると、簡単な柱体に見える場合があります。

「この立体は何でできているか」「何から何を引けば作れるか」と考える習慣をつけましょう。

図形問題を解くときの正しい手順

問題文の条件をすべて図へ書き込む

問題を読んだら、分かっている長さ、角度、平行、垂直、中点などを図へ書き込みます。

等しい辺には同じ印、平行線には同じ矢印をつけます。

円では、中心から円周上の点へ引いた線がすべて半径であり、同じ長さになることも書き込みます。

条件を図へ移すと、問題文を何度も読み返す必要がありません。

また、条件を書き込む途中で、二等辺三角形、相似、同じ高さの三角形などに気づくことがあります。

式を立てる前の準備として、30秒から1分程度を使って構いません。

求めるものから必要な情報を逆算する

図形問題では、分かっている数字から計算を始めるのではなく、求めるものに何が必要かを考えます。

三角形の面積を求めるなら、底辺と高さが必要です。

辺の長さを求めるなら、相似、比、合同、三平方のような中学校以降の知識ではなく、中学受験で使える図形の性質を探します。

角度を求めるなら、一直線の180度、三角形の内角の和180度、等しい角などを確認します。

「答えを出すために何が分かればよいか」と逆向きに考えると、必要のない計算を減らせます。

補助線を引く目的を言葉にする

補助線を引くときは、引く前に目的を言葉にします。

例えば、次のように考えます。

「円の中心と結んで二等辺三角形を作る」
「対角線を引いて同じ高さの三角形に分ける」
「平行線を延ばして相似な三角形を作る」
「長方形を完成させて全体から引く」

目的を説明できなければ、その補助線はまだ引かないほうがよいでしょう。

家庭では、子どもが線を引いたら「その線で何が分かるの？」と聞いてください。

正解の補助線を保護者が先に示すより、目的を考えさせるほうが次の問題でも再現できます。

解けないときは図を大きく描き直す

印刷された図が小さい、傾いている、複数の線が重なっている場合は、ノートへ描き直します。

実際の角度や長さを正確に再現する必要はありません。

必要な条件が見えるように、大きく簡単に描けば十分です。

相似を使うなら、該当する二つの三角形だけを取り出します。

立体なら、正面、上、横から見た図を別々に描く方法も有効です。

図を描き直すことは、問題を簡単にするための正当な作業です。

図形が得意な子ほど、必要な部分だけを取り出し、自分が考えやすい形へ変えています。

家庭学習で図形問題を得点源にする方法

基本図形を毎日10分ずつ確認する

図形問題は、週末にまとめて長時間解くより、毎日少しずつ触れたほうが基本的な性質を忘れにくくなります。

1日10分程度、2～3問で構いません。

小学4年生なら、三角形や四角形の角度、基本的な面積を中心にします。

小学5年生なら、円、面積比、図形の移動、立体の体積へ進みます。

小学6年生なら、相似、複合図形、立体切断、志望校の過去問を扱います。

ただし、学年よりも理解度を優先してください。

小学6年生でも面積比が曖昧なら、基本問題へ戻る必要があります。

間違えた原因を4種類に分ける

図形問題の間違いは、主に四つに分けられます。

知識不足、条件の読み落とし、方針不足、計算ミスです。

知識不足なら、二等辺三角形や相似などの基本性質を確認します。

条件の読み落としなら、問題文から図へ印を移す練習をします。

方針不足なら、解説の答えを写すのではなく、最初にどこへ注目したかを確認します。

計算ミスなら、図形の理解ではなく、途中式や分数計算を見直します。

すべてを「図形が苦手」とまとめず、どの段階で止まったかを特定することが大切です。

数字や向きの違う類題まで解く

解説を読んだ直後に同じ問題を解くと、補助線や答えを覚えているため、理解したように見えます。

本当に定着したかを確認するには、数字や図の向きが少し違う類題を解く必要があります。

例えば、同じ高さの三角形を使った問題を学んだら、三角形の向きや底辺の比が違う問題にも挑戦します。

元の問題は翌日、類題は3日後、もう一度元の問題を1週間後に解く方法がおすすめです。

別の形でも同じ考え方を選べれば、解法を自分のものにできています。

保護者は答えではなく着眼点を質問する

家庭で子どもが止まると、保護者は補助線や式をすぐ教えたくなります。

しかし、完成した解き方を教えるだけでは、次の問題でも同じ場所で止まります。

代わりに、次のように質問してください。

「同じ長さの辺はある？」
「同じ高さの三角形はない？」
「全体から引けない？」
「求めるために何が必要？」
「図を分けるならどこ？」

質問は一度に一つだけにします。

子どもが気づいた後は、「なぜそこに注目したの？」と説明させましょう。

保護者の役割は答えを教えることではなく、子どもが図を見る視点を増やすことです。

まとめ｜中学受験の図形問題は見方を増やして克服する

中学受験算数の図形問題が難しいのは、公式だけでなく、条件を読み取り、使える形へ変える力が必要だからです。

最初に問題文の条件を図へ書き込み、求めるものから必要な情報を逆向きに考えます。

角度では等しい角や一直線、面積では全体との差や底辺・高さの関係、相似では対応する辺、立体では基本的な形への分解に注目してください。

補助線は、目的を言葉にしてから引きます。

解けない場合は、図を大きく描き直し、必要な部分だけを取り出しましょう。

家庭学習では、毎日10分程度の基本練習を続け、間違いを原因別に分類します。解説を読んだ後は、数字や向きが異なる類題まで解くことが大切です。

図形問題は、一部の子だけが持つひらめきで解くものではありません。

「同じものを探す」「分ける」「移動する」「全体から引く」という見方を一つずつ増やせば、算数が苦手な子でも着実に得点源へ変えられます。