中学受験算数の図形難問｜解ける子になる考え方と対策

中学受験算数の図形難問はなぜ難しい？

この記事では、中学受験算数の図形難問がなぜ難しいのかを整理し、頻出の考え方から問題を見る順番、家庭でできる効果的な練習方法まで順番に解説します。

中学受験算数の中でも、図形の難問は差がつきやすい分野です。

問題を見た瞬間に、

「こんなの思いつくわけがない」

と感じる保護者もいるでしょう。

しかし、図形難問の多くは、子どもが知らない特別な公式だけで作られているわけではありません。

三角形、四角形、円、相似、比など、すでに習った基本事項を組み合わせて作られています。

難しいのは、「何を使えばいいのか」が問題に書かれていないことです。

公式を知っているだけでは解けない

たとえば三角形の面積は、

底辺×高さ÷2

です。

この公式自体はほとんどの受験生が覚えています。

ところが難問では、

高さが書かれていない
底辺にできそうな辺が複数ある
三角形が別の図形の中に隠れている

といった形で出題されます。

そのため、

「三角形の公式を言える」

だけでは解けません。

図を見て、

「この三角形なら、この辺を底辺にすると高さが共通になる」

と判断する必要があります。

つまり、難問で問われているのは公式の暗記量ではなく、公式を使える形に図を整理する力です。

必要な長さや条件が直接書かれていない

基本問題では、

底辺6cm
高さ4cm

のように、必要な数字がそのまま示されます。

難問ではそうはいきません。

たとえば長方形の内部に三角形があり、三角形の高さが書かれていなくても、長方形の向かい合う辺の関係から高さが分かる場合があります。

また、

平行
直角
二等辺三角形
正方形

といった条件から、書かれていない長さや角度を見つけることもあります。

算数が苦手な子ほど、数字が書かれている場所だけを見ます。

図形難問では、

「書かれていないけれど分かることはないか」

を見る習慣が必要です。

複数の考え方を組み合わせる必要がある

難問が難しく見える最大の理由は、一つの解法だけでは終わらないことです。

たとえば、

相似で辺の比を求める
↓
その比から面積比を出す
↓
全体の面積から一部を引く

というように、2〜3段階の考え方を使うことがあります。

このとき、最終的に求めたい面積だけを見ていると手が止まります。

「答えを出すために、その前に何が必要か」

を逆向きに考えることが大切です。

図形の難問で使う5つの重要な考え方

図形難問には無限のパターンがあるように見えますが、中学受験で頻繁に使う考え方はある程度決まっています。

まずは次の5つを使える状態にしましょう。

補助線で基本図形を作る

図形難問で代表的なのが補助線です。

ただし、

「補助線はひらめきだから苦手」

と考える必要はありません。

補助線には目的があります。

たとえば、

三角形を作る
長方形を作る
相似な三角形を作る
同じ高さの三角形を作る
円の中心と点を結ぶ

といった目的です。

不規則な四角形なら、対角線を1本引くだけで2つの三角形になる場合があります。

円の問題なら、中心と接点を結ぶことで直角が見つかることがあります。

家庭では、

「どこに線を引くの？」

と答えだけを聞くより、

「線を引いて何の形を作りたい？」

と聞くほうが、補助線の意味を理解しやすくなります。

相似を見つけて辺の比を利用する

小6の図形難問で特に重要なのが相似です。

相似とは、形が同じで大きさだけが違う図形の関係です。

たとえば相似比が、

2：3

なら、対応する辺の長さも2：3になります。

さらに面積比は、

2×2：3×3
＝4：9

です。

難問では、辺の長さを直接計算できなくても、

「この2つの三角形は相似ではないか」

と気づけば、一気に進むことがあります。

相似を探すときは、

平行線
共通する角
対頂角

などをチェックしてください。

同じ高さ・底辺から面積比を考える

三角形の面積は、

底辺×高さ÷2

です。

したがって、同じ高さなら面積比は底辺の比と同じになります。

たとえば同じ高さを持つ三角形AとBの底辺が、

2：5

なら、面積も、

2：5

です。

反対に底辺が同じなら、高さの比がそのまま面積比になります。

図形難問では、実際の面積を一つずつ求めるより、

「比だけで処理できないか」

を見ることが重要です。

数字がほとんど書かれていない図形問題でも、比を利用すれば解けることがあります。

等積変形で求めやすい形に変える

等積変形とは、面積を変えずに図形の形を変えて考える方法です。

たとえば同じ底辺と同じ高さを持つ三角形なら、頂点の位置が横へ移動しても面積は変わりません。

この性質を利用すれば、複雑な斜線部分を計算しやすい三角形へ置き換えられることがあります。

子どもには、

「形が変わっても、高さと底辺が同じなら面積は同じ」

と説明すると理解しやすいでしょう。

等積変形を使えるようになると、「数字が足りないように見える問題」に強くなります。

全体から不要な部分を引く

難しい斜線部分を直接求めようとすると、計算が複雑になることがあります。

そんなときは、

全体－白い部分

と考えます。

たとえば正方形の中に円があり、四隅の面積を求めるなら、

正方形－円

です。

さらに複雑な問題でも、

大きな三角形－小さな三角形

のように、「求めたい部分以外」を先に計算したほうが簡単になる場合があります。

図形難問では、

「直接求めなくてもよい」

という発想を持ってください。

図形難問が解ける子の問題を見る順番

図形が得意な子は、最初から答えまで見えているわけではありません。

問題を見たあとに確認する順番があります。

家庭でも、この順番を練習すると再現性が高まります。

最初の1分は計算せず図を見る

難問を見ると、子どもは焦って書かれている数字を掛けたり割ったりしがちです。

しかし、図形問題では最初の1分ほどを「観察」に使う価値があります。

見るポイントは、

平行な辺はあるか
同じ長さはあるか
直角はあるか
同じ高さの三角形はあるか
相似になりそうな図形はないか

です。

すぐ式を書かないことがポイントです。

図形問題では計算を始める前に勝負の半分が決まることもあります。

分かっている長さ・角・平行を図に書き込む

問題文を読んだだけで覚えておくのは難しいため、条件は図へ書き込みます。

同じ長さなら同じ印。

平行なら矢印。

直角なら直角マーク。

求めた長さもその場で書きます。

こうすると、最初は見えなかった相似や面積の関係に気づきやすくなります。

特に難問では、

「頭の中だけで考えない」

ことが重要です。

図は問題文についている飾りではありません。

書き込みながら考えるための作業スペースです。

解けなければ「何を出せば次へ進めるか」を考える

難問で手が止まったとき、

「答えの面積をどう求める？」

だけを考え続けると進まないことがあります。

そこで、

「この面積を出すには何が必要？」

と一段前へ戻ります。

たとえば三角形の面積を求めたいなら、

底辺と高さが必要。

高さが分からないなら、

相似を使って求められないか。

このように、

答え
←必要な長さ
←比
←相似

と逆向きにたどります。

難問では、最終答案まで一気に進もうとしないことが大切です。

中学受験算数の図形難問を家庭で伸ばす練習法

難問対策というと、最難関問題集を何冊も解くイメージがあるかもしれません。

しかし、算数が苦手な子ほど量を増やすだけではうまくいきません。

難問を大量に解くより良問を繰り返す

たとえば1週間で難問を20題解いて、ほとんど解説を見て終わるより、

良問を5題選び、

自力で挑戦
↓
解説を理解
↓
翌日に再挑戦
↓
1週間後に再挑戦

と繰り返すほうが効果的です。

図形問題で確認したいのは答えではありません。

「最初の一手」を再現できるかです。

特に、

補助線
相似の発見
面積比の利用

が自力でできるようになったかを見ましょう。

補助線だけを翌日に再現する

図形難問の復習でおすすめなのが、問題の図だけをもう一度見せる方法です。

計算まで全部やり直さなくても、

「昨日はどこに補助線を引いた？」

と聞きます。

そして、

「なぜそこに引くの？」

まで説明してもらいます。

たとえば、

「この2つの三角形を相似にするため」

と言えれば、解き方のポイントを理解しています。

一方、

「昨日ここだったから」

だけなら、答えを覚えている可能性があります。

補助線を引く理由まで言語化させることが大切です。

小4・小5は標準問題を優先し小6で難問へつなげる

小4や小5の段階から、難問ばかりを解かせる必要はありません。

難問を解く力の土台になるのは、

角度
面積
比
相似
円
基本的な補助線

です。

基本・標準問題でこれらを安定させたうえで、徐々に複合問題へ進みます。

特に小5で基本問題の正答率が低いのに、難関校向け図形問題を毎日解いている場合は、レベルが高すぎる可能性があります。

一方、小6で志望校の過去問演習が始まったら、

「その学校で実際に出る難問」

を優先します。

難問なら何でもよいわけではありません。

志望校の頻出分野に合わせるほうが効率的です。

まとめ｜図形難問はひらめきではなく基本の組み合わせ

中学受験算数の図形難問を見ると、

「こんな補助線、どうやって思いつくの？」

と感じるかもしれません。

しかし、実際に使われる考え方の多くは、

補助線
相似
面積比
等積変形
全体から引く

といった基本事項の組み合わせです。

難問が解けない子に必要なのは、さらに難しい公式を暗記することではありません。

まず、

平行はないか
同じ長さはないか
相似はないか
同じ高さはないか
基本図形に分けられないか

という順番で図を見る習慣をつけましょう。

そして家庭学習では、難問を大量に解かせるより、一度扱った問題を翌日もう一度見せて、

「最初に何をする？」

と聞いてみてください。

補助線を自分で再現し、その理由まで説明できれば、解法が少しずつ自分のものになっています。

図形難問に必要なのは、毎回ゼロからひらめく才能ではありません。

基本問題で学んだ形を蓄積し、

「これは前に見た形に似ている」

と気づける経験です。

小4・小5なら、まず標準問題を確実にしてください。

小6なら、志望校の過去問から頻出する図形難問を選び、同じ問題を何度も再現します。

難問を「解けたか・解けなかったか」だけで判断せず、

「どこまで自分で気づけたか」

を見ること。

それが、中学受験算数の図形難問を得点源へ変えていく近道です。