中学受験算数の平面図形｜苦手を克服する考え方

中学受験算数の平面図形が難しい3つの理由

この記事では、中学受験算数の平面図形でなぜつまずくのかを整理し、頻出テーマの考え方から家庭でできる具体的な練習法まで順を追って解説します。

平面図形は、中学受験算数の中でも苦手意識を持つ子が多い分野です。

計算問題なら「この公式を使う」と判断しやすいのに対して、図形問題では同じ正方形や三角形でも、問題によって着目する場所が変わります。

そのため、

「公式は覚えているのに解けない」
「解説を見ると分かるのに、自分では思いつかない」

という状態になりやすいのです。

しかし、平面図形はひらめきだけで解くものではありません。

図に条件を書き込み、知っている図形へ変えていく習慣を身につけることで、苦手な子でも少しずつ解ける問題を増やせます。

平面図形で点数が取れないと、「図形のセンスがないのでは」と心配になる保護者もいます。

ただ、多くの場合はセンスよりも、問題を見る手順が身についていないことが原因です。

まず、なぜ平面図形が難しく感じるのかを整理しましょう。

公式を覚えるだけでは解けない

平面図形には、

三角形の面積＝底辺×高さ÷2
円の面積＝半径×半径×3.14

といった公式があります。

もちろん、これらを覚えることは必要です。

しかし中学受験では、単純に数字を公式へ入れるだけの問題はそれほど多くありません。

たとえば三角形の面積を求める問題でも、底辺や高さが直接書かれておらず、別の図形との関係から見つけなければならないことがあります。

つまり、

公式を知っていることと、その公式を使える形を見つけることは別の力

なのです。

「公式は覚えているのに解けない」という場合は、公式の暗記不足ではなく、図から必要な情報を拾う練習が不足している可能性があります。

図から条件を読み取る力が必要になる

図形問題では、問題文に書かれている条件だけを見るのでは不十分です。

たとえば、

• 正方形なら4辺の長さが同じ
• 長方形なら向かい合う辺の長さが同じ
• 二等辺三角形なら2辺が等しい
• 平行線があれば錯角・同位角が等しい

など、図形の性質から自分で条件を追加できます。

例として、正方形ABCDで「AB＝6cm」と書かれていれば、

BC＝CD＝DA＝6cm

も分かります。

問題文に直接書かれていなくても、使える条件なのです。

平面図形が得意な子は、問題を見た瞬間からこうした条件を図に追加しています。

反対に苦手な子は、書かれている数字だけを見て考えようとする傾向があります。

補助線や比など複数の知識を組み合わせる

中学受験の平面図形では、単元をまたいだ問題も多く出ます。

たとえば、

角度＋二等辺三角形
面積＋比
相似＋面積比
円＋おうぎ形

というように、一つの知識だけで完結しないことがあります。

特に小5後半から小6になると、以前習った単元との組み合わせが増えます。

そのため「今習っている公式だけ覚える」という勉強では対応しづらくなります。

重要なのは、問題を見るたびに、

「この図の中に知っている形はないか」

と探す習慣です。

中学受験の平面図形で押さえたい頻出テーマ

平面図形にはさまざまな問題がありますが、まず押さえたい基本テーマがあります。

ここを安定させておくと、応用問題でも手がかりを見つけやすくなります。

角度は基本図形の性質から考える

角度問題では、いきなり複雑な式を立てるのではなく、基本となる角度を探します。

必ず確認したいのは、

• 三角形の内角の和＝180度
• 四角形の内角の和＝360度
• 一直線＝180度
• 対頂角は等しい
• 平行線の同位角・錯角は等しい

といった基本事項です。

たとえば二等辺三角形で頂角が40度なら、残りの2つの角度は、

180－40＝140度
140÷2＝70度

と求められます。

難しい角度問題でも、実際にはこうした基本計算を何回かつないでいるだけということがあります。

親が教えるときも、

「ここ何度？」

とすぐ聞くより、

「分かっている角度はどこ？」

と探させる方が考える習慣につながります。

面積は「高さが同じ」「底辺が同じ」に注目する

平面図形で差がつきやすいのが面積です。

特に重要なのが、三角形の面積比です。

三角形の面積は、

底辺×高さ÷2

なので、高さが同じなら面積比は底辺の比と同じになります。

たとえば、高さが同じ2つの三角形の底辺が2cmと5cmなら、

面積比は2：5

です。

同じように、底辺が同じなら面積比は高さの比になります。

この考え方が身につくと、長さが直接分からない問題でも面積を求められるようになります。

図形問題では、面積そのものを計算する前に、

同じ高さを持つ三角形がないか

を見る習慣をつけるとよいでしょう。

相似と面積比はセットで理解する

相似は難関校だけの特別な内容ではなく、多くの中学受験問題で使われます。

たとえば相似な三角形で辺の長さの比が、

2：3

なら、面積比は、

2×2：3×3＝4：9

です。

辺の比をそのまま面積比にしてしまうミスはよくあります。

家庭では、

「長さは1方向、面積は縦と横の2方向」

と説明すると理解しやすくなります。

辺の比が3：4なら、

面積比＝9：16

です。

この関係を単なる公式として覚えるのではなく、「縦も横も同じ割合で大きくなるから2回かける」と理解させることが重要です。

円・おうぎ形は中心と半径を書き込む

円の問題でまず確認したいのは、中心と半径です。

図に円が出たら、

• 中心はどこか
• 半径はどこか
• 同じ半径はどれか

を確認します。

同じ円の半径はすべて等しいので、図の中に二等辺三角形が隠れている場合があります。

また、おうぎ形では、

弧の長さ＝円周×中心角÷360
面積＝円の面積×中心角÷360

という考え方を使います。

ここでも公式だけを見るのではなく、

「円全体の何分の何か」

と考えさせると理解しやすくなります。

平面図形を解くときの考え方と手順

平面図形が苦手な子ほど、問題を見た瞬間に頭の中だけで考えようとします。

しかし、図形は手を動かして情報を整理することが大切です。

分かっている長さ・角度をすべて図に書く

最初にすることは、問題文の条件を図へ書き込むことです。

たとえば、

AB＝BC
∠ABC＝90度
ADとBCは平行

などの条件があれば、図に印をつけます。

等しい辺には同じ印、直角には四角い印、平行な線には矢印を書くと分かりやすくなります。

問題文を何度も読み返すより、情報を図へ移して一目で見える状態にすることが大切です。

これだけで「二等辺三角形がある」「ここは同じ角度だ」と気づけることがあります。

同じ長さ・平行・直角を見つける

次に、図形の性質から追加できる情報を探します。

たとえば正方形なら、

4辺が同じ
4つの角が90度
向かい合う辺が平行

です。

円なら半径が等しくなります。

平行線なら、同位角・錯角を使えます。

このように、問題文に書かれていない情報を見つけることが、平面図形攻略の重要なポイントです。

子どもには、

「今、図に書いていないけれど分かることはない？」

と尋ねるとよいでしょう。

補助線は目的を考えて引く

平面図形で子どもを悩ませる代表が補助線です。

「どこに線を引けばいいのか分からない」と感じる子は多いでしょう。

補助線は、やみくもに引くものではありません。

たとえば、

• 三角形を作りたい
• 長方形を作りたい
• 同じ高さの三角形を作りたい
• 相似な三角形を見つけたい

など、目的があります。

「補助線を引きなさい」ではなく、

「この形を知っている形に変えるなら、どこに線があるといい？」

と考えさせる方が効果的です。

答えが出ないときは図を分けて考える

複雑な図形は、一度に全部を見ようとすると難しくなります。

たとえば重なった三角形や円がある場合は、必要な部分だけをノートに書き直す方法が有効です。

「この三角形だけ抜き出してみよう」

と図を分けると、相似や同じ高さが見つかることがあります。

平面図形が苦手な子ほど、元の図にこだわってしまいます。

図は問題用紙に描かれた形のまま使わなければならないものではありません。

自分が考えやすい形に書き直してよいと教えてあげましょう。

家庭でできる平面図形の苦手克服法

平面図形は、ただ問題数を増やすだけでは伸びにくい分野です。

「どこを見たら解けたのか」を振り返る学習が大切です。

解説を見る前に図へ書き込ませる

問題が解けないと、すぐに解説を読ませたくなります。

しかし、その前に一度、

「分かることを全部図に書こう」

と声をかけてみてください。

角度、等しい辺、平行、半径などを書くだけで、自力で先へ進める場合があります。

解説を先に見ると、「分かった気」にはなれても、自分で条件を見つける練習ができません。

5分程度考えても進まなければ、ヒントを見るという流れがおすすめです。

一問を繰り返して「見える条件」を増やす

図形は、一度解いて終わりにするより、同じ問題を数日後に解き直す方が効果的です。

1回目は解説を見ながらでも構いません。

2回目では、

「なぜこの線を引いたのか」

を説明できるか確認します。

3回目には、何も見ずに自力で解きます。

この繰り返しによって、

「平行線を見たら角度」
「同じ高さなら面積比」
「半径があれば二等辺三角形」

といった見方が少しずつ定着します。

難問より典型問題を自力で解けるようにする

算数の成績が伸びないと、難しい問題集を追加したくなることがあります。

しかし、平面図形が苦手な子ほど、まずは典型問題を確実にすることが重要です。

たとえば、

• 三角形・四角形の角度
• 平行線と角度
• 等積変形
• 面積比
• 相似
• 円・おうぎ形

など、基本パターンを自力で解けるようにします。

目安は、解説を読んで理解できる状態ではなく、

数日後に何も見ずに解ける状態

です。

典型問題が身につけば、応用問題でも「これはあの考え方が使えそうだ」と気づきやすくなります。

親は答えではなく気づくための質問をする

家庭で図形を教えるとき、親が答えまで説明してしまうと、子どもは考える前に待つようになることがあります。

おすすめなのは、短い質問です。

「同じ長さはない？」
「平行な線はどこ？」
「この三角形と似ている形はない？」
「高さが同じ三角形はある？」

こうした質問なら、子ども自身が答えへたどり着けます。

親の役割は、解き方を全部教えることではありません。

図を見る視点を一つずつ増やすことだと考えてください。

まとめ｜中学受験算数の平面図形は「見える力」を育てよう

中学受験算数の平面図形は、公式をたくさん暗記すれば解ける分野ではありません。

大切なのは、図の中から、

• 等しい長さ
• 等しい角度
• 平行
• 直角
• 同じ高さ
• 相似
• 半径

といった条件を見つけることです。

平面図形が苦手な子は、「何も思いつかない」のではなく、見るべき場所がまだ決まっていないケースが少なくありません。

家庭では、難問を次々と解かせるより、まず基本問題で、

「何が分かる？」
「どこに印をつける？」
「この線を引く目的は？」

と確認してみてください。

そして、一度解いた問題は数日後にもう一度解き、自分で同じ考え方を再現できるかを確かめます。

平面図形は、最初から補助線が見える子だけが得意になるわけではありません。

典型的な図形を繰り返し見て、「この条件ならこの考え方」と結びつける経験が増えるほど、少しずつ見えるものが増えていきます。

「図形のセンスがない」と決めつけず、まずは図に分かることを書き込む習慣から始めてみてください。