中学受験算数の何通り問題｜場合の数を攻略

中学受験算数の「何通り」は場合の数の問題

この記事では、中学受験算数で頻出の「何通り」を求める問題について、場合の数の基本から樹形図・表を使った数え方、典型問題の解き方、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数では、

「全部で何通りありますか」

という問題がよく出ます。

数字を並べる、人を並べる、何人かを選ぶ、道順を数えるなど、見た目はさまざまです。

こうした問題は「場合の数」と呼ばれます。

算数が苦手な子にとって難しいのは、計算そのものではありません。

本当の難しさは、

どのような順番で数えれば、もれや重なりが起こらないか

を自分で決めなければならないことです。

逆に言えば、数え方を整理する方法を身につければ、「何通り」の問題は安定して解きやすくなります。

「もれなく・重なりなく」数えることが基本

場合の数で最も大切なのは、

もれなく、重なりなく数える

ことです。

たとえば、赤・青・黄の3枚のカードから2枚を選んで順番に並べるとします。

実際に書き出すと、

赤青
赤黄
青赤
青黄
黄赤
黄青

の6通りです。

ここで、

赤青と青赤

は別の並べ方です。

一方、

「3枚から2枚を選ぶだけ」

なら、

赤と青
赤と黄
青と黄

の3通りになります。

つまり、同じ3枚のカードでも、

「順番を考えるかどうか」

によって答えが変わります。

まず問題文を読んだら、

「順番が違えば別の1通りになる？」

と確認してみましょう。

足し算を使う場合とかけ算を使う場合

「何通り」の問題では、足し算とかけ算を使い分けます。

たとえば、昼食を、

ご飯3種類
パン2種類

のどちらかから1つ選ぶなら、

3＋2＝5通り

です。

一方、

主食3種類から1つ
飲み物2種類から1つ

を選ぶなら、

3×2＝6通り

です。

つまり、

「AまたはB」

なら足し算、

「Aを決めたあとBも決める」

ならかけ算

と考えると分かりやすくなります。

子どもに教えるときは、

「選ぶ作業が続いている？」

と聞いてみるのがおすすめです。

続いているなら、かけ算になる可能性が高くなります。

並べ方と選び方の違いを理解する

中学受験で特に間違いやすいのが、「並べる」と「選ぶ」の違いです。

A・B・Cの3人から2人を選ぶ場合、

AとB
AとC
BとC

の3通りです。

しかし、2人を1列に並べるなら、

AB
BA
AC
CA
BC
CB

の6通りになります。

ABとBAを同じと考えるのか、違うと考えるのかがポイントです。

問題文に、

並べる
順番を決める
1位と2位を決める
番号を作る

などがあれば、順序を考えることが多くなります。

一方、

選ぶ
組を作る
代表を決める

などでは、順序を考えない場合があります。

「何通り」を求める基本的な解き方

樹形図で順番に書き出す

場合の数が苦手な子に最初に身につけてほしいのが、樹形図です。

たとえば、

上着が赤・青の2種類
ズボンが白・黒・灰の3種類

あり、1着ずつ選ぶとします。

樹形図なら、

赤
├白
├黒
└灰

青
├白
├黒
└灰

と整理できます。

赤と組み合わせるズボンが3通り、青にも3通りなので、

3＋3＝6通り

です。

また、

2×3＝6通り

とも考えられます。

樹形図のよいところは、「数えた道筋」が目に見えることです。

算数が苦手な子ほど、頭の中だけで数えず、まず書いて整理しましょう。

表を使うと重複や数え忘れを防げる

2つのものを組み合わせる問題では、表も便利です。

たとえば、A・B・Cの3人から2人組を作る場合。

縦と横にA・B・Cを書きます。

A-Aは同じ人なので除きます。

A-BとB-Aは同じ組なので、一方だけ数えます。

すると、

AB
AC
BC

の3組になります。

表を使うと、

「すでに数えたもの」

が見えるため、重複を防ぎやすくなります。

特に、

2人組
2種類の数の組み合わせ
2つのサイコロ

などの問題では、表が役立ちます。

積の法則を使えば効率よく数えられる

場合の数が増えてくると、すべて書き出すのは大変です。

そこで使うのが、かけ算による数え方です。

たとえば、

百の位に1・2・3のどれか
十の位に4・5のどちらか
一の位に6・7・8のどれか

を使って3桁の数を作るとします。

百の位は3通り。

十の位は2通り。

一の位は3通り。

したがって、

3×2×3＝18通り

です。

これは、

「1つ目の選び方×2つ目の選び方×3つ目の選び方」

と考えています。

ただし、同じ数字を繰り返してはいけない場合などは、途中で選択肢が減ります。

条件を確認してからかけ算しましょう。

中学受験でよく出る「何通り」の典型問題

数字を並べて整数を作る問題

数字カードを使って整数を作る問題は頻出です。

たとえば、

1・2・3・4の4枚から異なる3枚を使って3桁の整数を作る

とします。

百の位は4通り。

1枚使ったので十の位は3通り。

さらに1枚使ったので一の位は2通り。

したがって、

4×3×2＝24通り

です。

ただし、0を含む場合は注意が必要です。

0・1・2・3から3枚使って3桁の整数を作る場合、百の位に0は置けません。

このように、

最初の桁だけ条件が違う

問題は中学受験でよく出ます。

条件の厳しいところから考えるのがコツです。

人を並べる・選ぶ問題

人を並べる問題も典型です。

A・B・C・Dの4人を1列に並べるなら、

1番目は4通り
2番目は3通り
3番目は2通り
4番目は1通り

なので、

4×3×2×1＝24通り

です。

一方、4人から2人を選ぶだけなら話は違います。

ABとBAを別にしないため、

AB
AC
AD
BC
BD
CD

の6通りです。

この違いを理解せず、何でもかけ算してしまうと間違えます。

「順番に意味がある？」

と毎回確認しましょう。

道順を数える問題

格子状の道を進む問題も、「何通り」の代表的な出題です。

たとえば、右に3回、上に2回進めば目的地へ着くとします。

全部で5回移動します。

この5回の中で、

右を3回
上を2回

どの順番で並べるかを考えます。

実際に、

右右右上上
右右上右上
右右上上右

などと並べます。

小さい問題なら書き出して構いません。

慣れてきたら、同じ動きが何回あるかを整理して効率よく数えます。

道順問題でも大切なのは、

「どこで分けて数えると重複しないか」

という視点です。

「何通り」が苦手な子への家庭での教え方

最初から公式を使わず少ない数で書き出す

場合の数では、公式を覚えようとするとかえって混乱する子がいます。

中学受験の段階では、最初から「順列」「組合せ」という言葉を使わなくても構いません。

まず3個程度の少ない例で、実際に全部書き出します。

たとえばA・B・Cを並べるなら、

ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA

の6通りです。

そのあとで、

「最初の場所は3通り、その次は2通り、最後は1通りだったね」

と確認します。

3×2×1という計算は、書き出した結果を短く表していると理解できれば、丸暗記になりません。

「何を固定するか」を決めて整理する

何通り問題で数え忘れが多い子には、

「まず何を固定する？」

と聞いてみてください。

たとえば1・2・3・4から3桁の整数を作るなら、

百の位を1に固定
↓
十の位を順番に変える

というように進めます。

百の位が1のものを全部数えたら、次は2です。

この方法なら、

1□□
2□□
3□□
4□□

とグループ分けできます。

場合の数は、適当に書き始めると途中で何を数えたか分からなくなります。

最初の条件を1つ固定して、順番に変える

という考え方は非常に重要です。

間違えたら重複と数え忘れを確認する

答えが違ったとき、すぐに正しい解き方を教える必要はありません。

まず、

「同じものを2回数えていない？」

と確認します。

次に、

「最初の条件を全部使った？」

と聞きます。

場合の数のミスは、大きく分けると、

重複
数え忘れ
条件の読み落とし

の3つが多くなります。

たとえば「同じ数字は1回しか使えない」という条件を見落とすと、答えは大きく変わります。

間違えたときこそ、

なぜ数が合わなかったのか

を確認することが、次の問題への力になります。

まとめ｜「何通り」は整理して数える力を身につければ解ける

中学受験算数の「何通り」を求める問題では、難しい計算力よりも、条件を整理して正確に数える力が求められます。

基本は、

もれなく・重なりなく数えること

です。

そのために、

樹形図
表
書き出し
かけ算

を使い分けます。

また、

「順番が違えば別の1通りなのか」

を確認することも重要です。

並べる問題なら順番を区別することが多く、単に選ぶ問題なら区別しないことがあります。

算数が苦手なお子さんには、最初から公式を覚えさせる必要はありません。

まず少ない数で実際に書き出し、

「どうすれば全部を数えられる？」

と考えさせてみてください。

そして、

1つを固定する
↓
残りを順番に変える
↓
終わったら次の固定条件へ進む

という流れを身につけます。

「何通り」の問題は、一見するとひらめきが必要に見えますが、実際には整理の仕方を知っているかどうかが大きなポイントです。

樹形図や表を自分で書き、数え方の順序を決められるようになることが、場合の数を安定して得点するための近道です。