中学受験算数の点の移動｜面積変化の解き方

中学受験算数の「点の移動」は何を考える問題？

この記事では、中学受験算数の「点の移動」について、基本的な考え方から面積変化、グラフ、2点が動く応用問題まで、家庭でも説明できるように順を追って解説します。

中学受験算数の点の移動は、図形と速さが組み合わさった代表的な問題です。

問題文には、

「点Pが毎秒2cmで辺AB上を動く」
「点Qが同時に別の頂点から動き始める」
「三角形APQの面積が何cm²になるか」

といった条件が出てきます。

算数が苦手な子にとって難しいのは、計算そのものよりも、時間によって点の位置と図形の形が変わることです。

しかし、考える順番を固定すれば必要以上に怖がる必要はありません。

基本は、

何秒後か → 点はどこにいるか → そのときの図形はどうなっているか

の順です。

点の移動では、動いている点だけを追いかけようとすると混乱しやすくなります。

まず、問題全体の仕組みを理解しておきましょう。

点が動くと図形の形や面積が変化する

たとえば、たて6cm、横10cmの長方形ABCDがあるとします。

点PがAからBへ、毎秒2cmで動くとします。

1秒後なら、

AP＝2cm

2秒後なら、

AP＝4cm

3秒後なら、

AP＝6cm

です。

もしPと別の頂点を結んで三角形を作れば、Pの位置が変わるたびに三角形の面積も変わります。

点の移動問題とは、簡単にいえば、

点の位置の変化を利用して、長さや面積の変化を考える問題

です。

最初から面積を求めようとすると難しく見えますが、まず点の位置を求めれば、その後は通常の図形問題になります。

まず「何秒後にどこにいるか」を確認する

点の移動で最初に確認したいのは、各時刻の位置です。

点Pが毎秒3cmで動くなら、

1秒後　3cm
2秒後　6cm
3秒後　9cm

進みます。

つまり、

動いた距離＝速さ×時間

です。

中学受験生なら速さの公式自体は知っていることが多いでしょう。

ところが点の移動では、図形に目を奪われてこの基本を忘れてしまうことがあります。

家庭で教えるときは、

「面積を考える前に、Pは今どこ？」

と聞いてみてください。

位置さえ決まれば、問題が急に単純になることがあります。

点の速さと辺の長さを最初に整理する

次に大切なのが、頂点へ到着する時刻です。

たとえば辺ABが12cmで、点Pが毎秒3cmなら、

12÷3＝4秒

でBに着きます。

つまり、

0～4秒：辺AB上
4秒以降：次の辺へ進む

というように、4秒を境に状況が変わります。

点の移動問題では、この「頂点に到着する時刻」が非常に重要です。

問題用紙の横に、

AB＝12cm
P＝毎秒3cm
B到着＝4秒

とメモしておくと、条件を整理しやすくなります。

点の移動問題の基本的な解き方

点の移動を解くときは、毎回同じ手順を使うと安定します。

動いた距離は「速さ×時間」で求める

例として、正方形ABCDの1辺が8cmで、点PがAからBへ毎秒2cmで進むとします。

3秒後のAPは、

2×3＝6cm

です。

ここまでは速さの問題です。

もし三角形APDの面積を求めるなら、底辺をAP＝6cm、高さをAD＝8cmと見れば、

6×8÷2＝24cm²

となります。

つまり、

点の移動
↓
APの長さを求める
↓
普通の三角形の面積を求める

という流れです。

「点の移動」という名前に身構えず、一つずつ分解して考えましょう。

三角形の面積は底辺と高さの変化を見る

点の移動では、三角形の面積変化が頻出します。

このとき注目したいのが、

底辺と高さのどちらが変化しているか

です。

たとえば点Pが横向きの辺を動き、反対側の頂点との三角形を作る場合、高さは変わらず、底辺だけが長くなることがあります。

高さが6cmで固定され、底辺APが毎秒2cmずつ増えるなら、

1秒後：2×6÷2＝6cm²
2秒後：4×6÷2＝12cm²
3秒後：6×6÷2＝18cm²

となります。

面積は毎秒6cm²ずつ増えています。

このように、「固定されている長さ」と「変わる長さ」を分けて見ると、点の移動がかなり理解しやすくなります。

頂点に着く時刻で場合分けする

応用問題では、点が1本の辺だけでなく、図形の周りを動くことがあります。

たとえば長方形ABCDで、

AB＝8cm
BC＝6cm
点PはA→B→Cの順に毎秒2cm

で進むとします。

Bまでかかる時間は、

8÷2＝4秒。

Cまではさらに、

6÷2＝3秒。

したがって、

0～4秒：PはAB上
4～7秒：PはBC上

です。

4秒より前と後では、面積を求めるために使う辺が変わる可能性があります。

ここで場合分けをせず、最初の式をそのまま使い続けるのが典型的なミスです。

点が角を曲がる問題を見たら、最初に頂点へ着く時刻に縦線を引く感覚を持たせましょう。

中学受験でよく出る点の移動の応用パターン

入試では、1つの点だけを追う基本問題からさらに条件が加わります。

代表的なパターンを押さえておきましょう。

2つの点が同時に動く問題

点Pと点Qが同時に動く問題では、一気に難しく見えます。

しかし、それぞれ別々に考えれば大丈夫です。

たとえば、

Pは毎秒2cm
Qは毎秒3cm

なら、t秒後には、

Pの移動距離＝2×t
Qの移動距離＝3×t

です。

最初から2点を同時に頭の中で動かそうとすると混乱します。

まずP、次にQという順で位置を決め、その後で図形を見ます。

家庭では、

「Pだけならどこ？」
「次にQはどこ？」

と分けて質問すると理解しやすくなります。

面積が等しくなる時刻を求める問題

中学受験でよくあるのが、

「三角形APQと三角形CPQの面積が等しくなるのは何秒後か」

といった問題です。

このタイプでは、面積をすべて計算するより、

高さが同じ三角形なら底辺の比＝面積の比

など、図形の性質を利用できる場合があります。

たとえば高さが共通なら、面積が等しい条件は底辺が等しい条件に置き換えられます。

すると「点Pがちょうど辺の中央に来るとき」など、長さだけで解けることがあります。

点の移動では、毎回面積公式を使うのではなく、

「面積が等しくなるためには、どの長さが等しければよい？」

と考えることも大切です。

面積の変化をグラフで考える問題

難関校を中心に、時間と面積の関係をグラフで表す問題も出題されます。

横軸が時間、縦軸が面積です。

たとえば面積が毎秒一定量ずつ増えるなら、グラフは右上がりの直線になります。

点が頂点に着いて動く辺が変わると、

増える
一定になる
減る

など、グラフの傾きが変化することがあります。

グラフ問題でも重要なのは、

「この時刻に点はどの頂点へ着いたのか」

を対応させることです。

折れ曲がったグラフを見たら、その時刻に図形上で何が起きたか確認しましょう。

往復する点は進む向きを確認する

点PがAからBまで進んだ後、Aへ戻る問題もあります。

たとえばAB＝12cm、毎秒3cmならBに着くのは4秒後です。

6秒後を考えるなら、

最初の4秒でA→B
残り2秒でB→A

と進みます。

戻る距離は、

3×2＝6cm

なので、PはBから6cm戻った位置にいます。

よくあるミスは、

3×6＝18cm

と計算して、辺の長さを超えてしまうことです。

「何秒進んだか」だけでなく、「その間に向きが変わっていないか」を確認してください。

点の移動が苦手な子への家庭での教え方

点の移動は、頭の中だけで図形を動かせる子には解きやすい一方、イメージが苦手な子には負担の大きい単元です。

家庭では視覚的に整理してあげることが有効です。

図を1枚だけで済ませない

問題に印刷された図へ、すべての時刻を書き込むと非常に見づらくなります。

そこで、

0秒
2秒後
4秒後

のように、同じ図を2～3個簡単に描いてください。

正確な図でなくても構いません。

点Pの位置が分かれば十分です。

1枚の図の中で動きを想像するより、時間ごとに「静止画」を作ったほうが理解しやすい子は多くいます。

1秒後・2秒後を書いて変化を見せる

いきなり「t秒後」や「6秒後」を考えにくい子には、小さな時刻から試します。

毎秒2cmなら、

1秒後＝2cm
2秒後＝4cm
3秒後＝6cm

と実際に図へ印をつけます。

すると、

「1秒ごとに底辺が2cmずつ伸びている」

などの規則が見えてきます。

算数が苦手な子には、公式を与えるより具体例を2～3個並べて規則を発見させるほうが理解につながることがあります。

公式より「固定されている長さ」を探す

親が教えるときには、

「三角形の面積は底辺×高さ÷2でしょ」

だけで終わらせないようにしましょう。

代わりに、

「この三角形でずっと変わらない長さはどれ？」
「動いているPによって変わるのはどこ？」

と聞いてみてください。

たとえば高さが8cmで固定されていれば、子どもは底辺の変化だけに集中できます。

点の移動が難しいのは、すべてが変化しているように見えるからです。

実際には、変わるものと変わらないものを分けるだけで整理しやすくなります。

まとめ｜点の移動は「位置・時刻・面積」を順番に整理する

中学受験算数の点の移動は、図形・速さ・面積が組み合わさるため、苦手意識を持ちやすい単元です。

しかし、考える順番を決めてしまえば対応しやすくなります。

基本の流れは、

1．何秒後なのか確認する
2．速さ×時間で点の位置を求める
3．頂点に着く時刻を確認する
4．その時刻の図を書く
5．底辺・高さから面積を求める

です。

特に大切なのは、点が頂点へ着いたときです。

角を曲がる、折り返す、別の辺へ進むなど、動き方が変われば、それまでと同じ式が使えない場合があります。

また、面積を考えるときは、

「変化している長さはどこか」
「ずっと固定されている長さはどこか」

を探しましょう。

家庭で子どもが止まったときも、すぐ解法を説明する必要はありません。

「3秒後にPはどこ？」
「そのとき三角形の底辺はどこ？」
「高さは変わっている？」

と一つずつ質問するだけで、子ども自身が考え方を取り戻せることがあります。

点の移動は、頭の中で点を動かす問題ではありません。

時間ごとの位置を紙の上に止めて考える問題だと思えば、ぐっと取り組みやすくなります。

まずは1つの点が1本の辺を動く基本問題から始め、慣れてきたら2点移動や面積グラフへ進んでいきましょう。