中学受験算数の組み合わせ｜解き方と考え方のコツ

中学受験算数の「組み合わせ」でつまずく理由

この記事では、そんな悩みを持つご家庭に向けて、中学受験算数の「組み合わせ」でなぜ数え漏れや重複が起こるのか、どのような順番で考えればよいのか、家庭でどう練習すればよいのかを分かりやすく解説します。

「組み合わせ」は、中学受験算数の「場合の数」で頻繁に登場する考え方です。

一見すると単純に数えるだけの問題に見えますが、実際には、

「順番を区別するのか」
「同じものを二重に数えていないか」
「条件に合わない場合を除く必要があるか」

などを整理しなければなりません。

そのため、計算が得意な子でも苦戦することがあります。

反対に、正しい数え方の型を身につければ、複雑に見える問題でも落ち着いて処理できるようになります。

順番を考える場合と考えない場合が混ざる

組み合わせで最初に理解したいのが、順番を区別するかどうかです。

たとえば、A・B・C・Dの4人から2人を選ぶとします。

AさんとBさんを選ぶ場合、

A→B
B→A

と並べる順番は違いますが、「AさんとBさんを選んだ」という結果は同じです。

したがって、組み合わせとしては1通りです。

一方、

「4人の中から委員長と副委員長を1人ずつ選ぶ」

なら事情が変わります。

Aさんが委員長、Bさんが副委員長の場合と、Bさんが委員長、Aさんが副委員長の場合は別です。

つまり、役割や順番が変わると結果も変わります。

子どもにはまず、

「入れ替えたとき、別の結果になる？」

と問いかけると判断しやすくなります。

頭の中だけで数えると漏れや重複が起きる

組み合わせ問題では、暗算だけで処理しようとすると数え漏れが起こりやすくなります。

たとえば5人、

A・B・C・D・E

から2人を選ぶ場合を考えます。

規則的に書き出すと、

AB
AC
AD
AE
BC
BD
BE
CD
CE
DE

の10通りです。

ところが思いついた順に書くと、

AB、AC、BC、AD、AE……

のようになり、どこまで数えたのか分からなくなります。

場合の数では「計算が速いこと」よりも、漏れなく、重複なく並べることの方が重要です。

問題ごとに数え方を変える必要がある

組み合わせ問題には、いつでも使える一つの方法があるわけではありません。

少ない人数なら書き出しが分かりやすいですし、条件が複雑なら樹形図、数字の組み合わせなら表が便利な場合もあります。

さらに、

「少なくとも1人は女子を含む」

「3人のうち2人以上を選ぶ」

などの条件がつくと、全部の場合から条件に合わない場合を引く方が簡単になることもあります。

つまり、組み合わせで必要なのは公式暗記より、問題に合わせて数え方を選ぶ力です。

組み合わせ問題で最初に身につけたい3つの基本

「選ぶだけ」なら順番は関係ない

中学受験では、高校数学のような記号を使わなくても組み合わせを考えられます。

大切なのは、

選んだメンバーが同じなら1通り

という感覚です。

たとえば6種類のケーキから2種類を選ぶ場合、

ショートケーキ→チョコレート
チョコレート→ショートケーキ

は同じ組み合わせです。

ところが、

「1個目に何を食べ、2個目に何を食べるか」

なら順番が変われば別の場合になります。

家庭で教えるときは、

「順番を入れ替えたら答えが変わる？」

と毎回確認すると、組み合わせと並べ方の区別が身につきます。

樹形図で重複を見える形にする

場合の数で非常に役立つのが樹形図です。

たとえばA・B・C・Dから2人を選ぶとき、

Aから始める
→B
→C
→D

Bから始める
→C
→D

Cから始める
→D

と枝分かれさせれば、

AB、AC、AD、BC、BD、CD

の6通りが見つかります。

ここでBからAに戻らないことがポイントです。

ABをすでに数えているため、BAを数えると重複するからです。

樹形図は、子どもの頭の中にある考えを紙の上に出せる点で非常に有効です。

表や書き出しで規則的に数える

数字の組み合わせでは、表が使いやすいこともあります。

たとえば、

1、2、3、4、5

から異なる2つを選んで足す問題なら、

1＋2
1＋3
1＋4
1＋5

次に、

2＋3
2＋4
2＋5

というように、小さい数字から順番に固定して書けば漏れません。

ポイントは、

「思いついたものを書く」のではなく「規則を決めて書く」

ことです。

場合の数が苦手な子ほど、この違いを意識させると正答率が上がりやすくなります。

中学受験算数の組み合わせ問題を解く手順

何を何個選ぶのか確認する

問題を読んだら、すぐに数え始めるのではなく、

「何個あるものから、何個選ぶのか」

を確認します。

たとえば、

「7人から3人を選ぶ」

なら、

全部で7人
選ぶのは3人

です。

さらに、

役割はあるのか
順番はあるのか
同じものを複数回選べるのか

も確認します。

この整理を飛ばすと、途中で数え方がずれる原因になります。

同じ組み合わせを二重に数えない

組み合わせ問題で最も多いミスの一つが重複です。

A・B・Cから2人を選ぶなら、

AB
AC
BC

の3通りです。

ABとBAを別々に数えてはいけません。

子どもが間違えたら、

「この2つは選ばれている人が違う？」

と聞いてみてください。

同じメンバーなら一つの組み合わせです。

答えを修正するだけでなく、なぜ二重に数えたのかを理解することが再発防止につながります。

「少なくとも」「ちょうど」に注意する

中学受験では条件付きの組み合わせがよく出ます。

特に注意したい言葉が、

「少なくとも」
「ちょうど」
「必ず」
「〜を含まない」

です。

たとえば、

「男子3人、女子2人から3人を選び、少なくとも女子1人を含む」

という問題を考えます。

「少なくとも女子1人」ということは、

女子1人
または女子2人

です。

このように場合分けして数える方法もあります。

一方、「女子が0人の場合」を全部から引く方が簡単なこともあります。

問題文の条件に丸をつける習慣をつけるだけでも、読み落としを減らせます。

反対側から数えると簡単な問題もある

組み合わせでは、条件に合う場合を直接数えるより、

全部−条件に合わない場合

で求めた方が速いことがあります。

たとえば10通り全部ある中で、

「少なくとも1人はAさんを含む」

場合を直接数えるのが大変なら、

全体の組み合わせ
−Aさんをまったく選ばない組み合わせ

と考えます。

この方法は「余事象」という難しい言葉を使わなくても、

「いらない方を数えて全部から引こう」

と説明すれば小学生にも理解できます。

組み合わせが苦手な子の家庭学習法

式より先に書き出させる

保護者が教えるとき、最初から計算式を覚えさせる必要はありません。

特に小学4～5年生では、まず実際に書き出すことが重要です。

A・B・C・Dから2人を選ぶなら、

AB
AC
AD
BC
BD
CD

と一度全部書かせます。

そのうえで、

「Aと組める相手は3人」
「BではAを除いて2人」
「Cでは1人」

と規則を見つけさせます。

具体的な書き出しから規則を発見した方が、ただ式を暗記するより応用につながります。

間違えた理由を3種類に分ける

組み合わせの間違いは、主に、

1. 数え漏れ
2. 重複
3. 条件の読み違い

に分けられます。

たとえば答えが8通りなのに7通りだった場合、

「計算ミスした」

だけで終わらせず、

どの場合を数え忘れたのか

まで確認します。

逆に9通りなら、同じ組み合わせを二度数えていないかを探します。

間違いの種類が分かると、次回どこに注意すればよいかが明確になります。

典型問題を繰り返して型を身につける

場合の数が苦手だからといって、難問を大量に解く必要はありません。

最初に固めたいのは、

• 何人かから何人かを選ぶ問題
• 数字を2つ、3つ選ぶ問題
• 樹形図で数える問題
• 条件付きの組み合わせ
• 「全部から引く」問題

です。

1回解いて終わりではなく、

当日
翌日
数日後

と繰り返して、「どの方法を使う問題なのか」を自分で判断できるようにします。

組み合わせ問題は、一度型が身につくと初見問題でも整理しやすくなります。

まとめ｜組み合わせは「規則正しく数える力」が得点につながる

中学受験算数の組み合わせは、公式をたくさん覚える単元ではありません。

大切なのは、

「順番を区別するのか」「重複していないか」「漏れなく数えられているか」

を確認することです。

問題を解くときは、

何を何個選ぶのか確認する
↓
順番を区別するか考える
↓
樹形図・表・書き出しから方法を選ぶ
↓
漏れと重複を確認する

という順番を習慣にしてください。

また、家庭学習では答えだけを見るのではなく、

「どういう順番で数えた？」

「同じものを2回数えていない？」

と聞いてみることが効果的です。

組み合わせが苦手な子は、考える力が足りないのではなく、数え方を整理する方法をまだ身につけていないだけというケースが少なくありません。

最初は時間がかかっても構いません。

樹形図や書き出しを使って、目で確認しながら規則正しく数えることを優先しましょう。

その積み重ねによって、数え漏れが減り、複雑な場合の数でも自分で整理して解ける力が育っていきます。