中学受験算数の過不足算｜解き方と考え方を解説

中学受験算数の過不足算とは？まず意味を理解しよう

この記事では、そんな悩みを持つご家庭に向けて、中学受験算数の過不足算とは何か、なぜ「余り＋不足」で考えるのか、どの順番で式を作ればよいのかを、例題を使いながら分かりやすく解説します。

過不足算は、中学受験でよく扱われる特殊算の一つです。

問題文には、

「1人に4個ずつ配ると6個余る」
「1人に5個ずつ配ると3個足りない」

といった表現が登場します。

この文章を見て、

「余るなら引く？」
「足りないなら足す？」

と混乱する子は少なくありません。

しかし過不足算の本質は、公式を覚えることではありません。

配り方を変えたことで、1人あたり何個ずつ多く必要になり、その差が全体でどれだけになるか

を考える問題です。

ここが理解できれば、数字や設定が変わっても落ち着いて解けるようになります。

過不足算は「配り方を変えたときの差」を考える問題

過不足算では、同じ人数に同じ品物を配る場面がよく使われます。

例えば、ある数のあめを子どもたちに配るとします。

1人に4個ずつ配ると6個余る。
1人に5個ずつ配ると3個不足する。

ここで注目したいのは、

4個ずつ
↓
5個ずつ

と、1人あたり1個多く配ろうとしていることです。

もし子どもが10人なら、必要なあめは10個増えます。

20人なら20個増えます。

つまり、

1人あたりの差×人数＝全体で増える必要量

という関係があります。

これが過不足算の中心となる考え方です。

「余る」と「不足する」を正しく整理する

過不足算で最も重要なのが、「余り」と「不足」の位置関係です。

先ほどの例では、

4個ずつなら6個余る
5個ずつなら3個不足する

となっています。

4個ずつ配った状態では、まだ6個残っています。

そこから5個ずつに増やすには、その余っていた6個を全部使っても、さらに3個必要です。

したがって、増やさなければならない全体量は、

6＋3＝9個

となります。

つまり、

余る状態から不足する状態へ変わるときは、余りと不足を足す

のです。

「余りだから引く」と言葉だけで判断しないことが大切です。

差集め算とのつながりも知っておく

過不足算は、実は差集め算と非常によく似ています。

1人あたり1個ずつ多く配ると、人数分だけ必要な数が増えます。

例えば18人なら、

1個×18人＝18個

増えます。

つまり、小さな差が人数分集まって大きな差になるという考え方です。

この意味では、

過不足算＝配り方を変えたときの差集め算

と考えることもできます。

特殊な公式として暗記するより、「差が人数分集まる」と理解しておく方が応用しやすくなります。

過不足算の基本的な解き方を例題で理解する

余る場合と不足する場合の基本問題

次の問題を考えてみましょう。

「何人かの子どもに鉛筆を配ります。1人に4本ずつ配ると8本余り、1人に6本ずつ配ると10本足りません。子どもは何人いますか。」

まず、1人あたりの配る本数の差を求めます。

6－4＝2本

次に、全体で必要になる鉛筆の差を考えます。

4本ずつなら8本余っています。

6本ずつにすると、その8本を使い切ったうえで10本不足します。

したがって、

8＋10＝18本

が全体の差です。

1人あたり2本ずつ増やすことで、全体では18本多く必要になったので、

18÷2＝9人

となります。

答えは9人です。

確認すると、

4×9＝36
36＋8＝44本

鉛筆は44本あります。

6×9＝54
54－44＝10本

確かに10本不足します。

どちらも余る場合の考え方

過不足算では、「余る・不足する」だけでなく、どちらの場合も余ることがあります。

例えば、

1人に3個ずつ配ると20個余る。
1人に5個ずつ配ると8個余る。

この場合、配る数を増やしたことで、

20個余り
↓
8個余り

に変化しています。

つまり、使った個数は、

20－8＝12個

増えています。

1人あたりでは、

5－3＝2個

増えているので、

12÷2＝6人

です。

どちらも余る場合は、余り同士の差を考えます。

どちらも不足する場合の考え方

次は、

1人に4個ずつ配ると5個不足する。
1人に6個ずつ配ると17個不足する。

という場合です。

配る数を増やしたことで、不足する数が、

5個
↓
17個

に増えています。

その差は、

17－5＝12個

です。

1人あたりでは、

6－4＝2個

多く必要なので、

12÷2＝6人

です。

どちらも不足する場合も、不足数同士の差を使います。

整理すると、

余る→不足する：足す
余る→余る：引く
不足→不足：引く

となります。

ただし、これをそのまま暗記するよりも、「全体で何個分の差が生まれたのか」と考える方が確実です。

中学受験の過不足算を解く4つの手順

1人あたりの配る数の差を求める

問題を読んだら、最初に見るのは1人あたりの個数です。

例えば、

4個ずつ
7個ずつ

なら、

7－4＝3個

です。

これは、1人につき3個ずつ多く必要になるという意味です。

過不足算では、この1人分の差が非常に重要です。

全体の差を正しく考える

次に、

余った数
不足した数

を見ます。

例えば、

5個余る
7個不足する

なら、

5＋7＝12個

です。

一方、

15個余る
3個余る

なら、

15－3＝12個

です。

ここでは「足す公式」「引く公式」と考えるより、

最初の状態から次の状態まで、全部で何個分変わったか

を考えましょう。

人数を求める

1人あたりの差と全体の差が分かれば、

全体の差÷1人あたりの差

で人数を求められます。

例えば、

全体の差＝24個
1人あたりの差＝3個

なら、

24÷3＝8人

です。

なぜ割り算になるかも理解させておきましょう。

1人につき3個ずつ差が生まれ、それが8人分集まると、

3×8＝24

になるからです。

最後に全体の個数を求める

問題によっては人数だけでなく、品物の総数を聞かれることもあります。

例えば、

1人に4個ずつ配ると6個余る
人数は8人

なら、

4×8＋6
＝38個

です。

不足する条件を使うなら、

1人に6個ずつ配ると10個不足する

として、

6×8－10
＝38個

となります。

どちらで計算しても同じ答えになります。

余裕があれば両方で確認すると、計算ミスにも気づきやすくなります。

過不足算が苦手な子のつまずきと家庭での教え方

「余り＋不足」になる理由が分からない

過不足算で最もよくあるつまずきです。

例えば、

4個余る
6個不足する

という数字を見たとき、

「4－6？」

と考えてしまう子がいます。

こんなときは、数直線のように考えてください。

不足していないちょうどの状態を「0」とします。

4個余る状態は、

＋4

です。

6個不足する状態は、

－6

です。

＋4から－6まで動く距離は、

4＋6＝10

です。

「余り」と「不足」が反対側にあるから、間の距離は足し算になると説明すると理解しやすくなります。

式だけ暗記すると応用問題で止まる

過不足算が苦手な子に、

「余りと不足は足す」

とだけ覚えさせると、どちらも余る問題で困ります。

例えば、

18個余る
6個余る

という問題でも足してしまうことがあります。

公式暗記ではなく、

「最初から次の状態まで何個変わった？」

と問いかけましょう。

すると、

18個余っていたのが6個余りになった
→12個多く使った

と状況を理解できます。

算数では、式そのものより式になる理由を説明できることが重要です。

線分図や具体物で状況を見える化する

文章だけで分かりにくい子には、線分図が有効です。

例えば、

4個ずつ配ると8個余る

場合なら、

「実際に配った分」＋「余った8個」

と一本の線で表します。

6個ずつ配る場合は、

「持っている全体」＋「不足10個」

まで必要だったと考えます。

2つの線を並べると、

余った8個
＋
足りない10個

の合計18個分だけ必要量が増えていることが見えます。

さらに低学年寄りの子なら、実際におはじきや硬貨などを並べても構いません。

解き直しでは「差」を説明させる

家庭で丸つけするとき、

「答えが合っているからOK」

で終わらせないことも大切です。

例えば、

18÷2＝9

と書いていたら、

「18って何の数？」

「2って何の差？」

と聞いてみてください。

子どもが、

「18は余った8個と足りない10個を合わせた全体の差」
「2は1人に配る本数の差」

と説明できれば、理解できています。

逆に説明できない場合は、式だけ覚えている可能性があります。

過不足算では、数字の意味を言葉にする練習が非常に効果的です。

まとめ｜過不足算は「1人あたりの差×人数」で考える

中学受験算数の過不足算は、「余り」「不足」という言葉が出てくるため、最初は複雑に感じやすい単元です。

しかし、本質はとてもシンプルです。

1人あたりの配る数を変えると、その差が人数分だけ集まり、全体の差になる

という考え方です。

基本は、

1人あたりの差を求める
↓
全体の差を求める
↓
全体の差÷1人あたりの差で人数を求める
↓
必要なら全体の個数を求める

という流れです。

また、

余る→不足する

場合は、余りと不足の間を移動するため足し算になります。

一方、

余る→余る
不足→不足

では、同じ側にあるため差を求めます。

ただし、子どもには公式として覚えさせるより、

「全部で何個分変わったの？」

と考えさせることをおすすめします。

過不足算で間違えたときも、

「足すの？引くの？」

とすぐ教えるのではなく、

「最初の状態から次の状態になるまで、品物は何個多く必要になった？」

と聞いてみてください。

自分で状況を説明できるようになると、数字が変わっても応用できます。

過不足算は、考え方が一度つながると安定して得点しやすい単元です。

「1人分の差」と「全体の差」を見つけること。

この2つを意識しながら基本問題を繰り返せば、苦手な子でも少しずつ自力で式を立てられるようになります。