中学受験算数の濃度問題｜苦手な子でもわかる解き方

中学受験算数の濃度問題で最初に理解したい3つの量

この記事では、中学受験算数の濃度問題でなぜつまずくのかを整理し、基本の考え方から典型問題、応用問題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数の濃度問題、いわゆる食塩水の問題は、苦手意識を持つ子が多い単元です。

理由は、濃度だけを見て解こうとすると、「何％」「何g」「何gの食塩水」という3種類の数字が混ざり、何を計算しているのか分からなくなるからです。

ところが、濃度問題で登場する量は基本的に3つしかありません。

最初にこの関係を整理するだけで、問題はかなり見通しやすくなります。

濃度・食塩・食塩水の関係を整理する

まず覚えておきたいのは、次の3つです。

・食塩水の重さ
・食塩の重さ
・濃度

たとえば、

「200gの食塩水の中に20gの食塩が入っている」

とします。

食塩水全体が200g、その中の食塩が20gです。

このとき、水の重さは、

200－20＝180g

となります。

濃度とは、「食塩水全体の中に、食塩がどれくらいの割合で入っているか」を表す数字です。

つまり、食塩水を100等分したときに、そのうち何個分が食塩なのかを表していると考えるとわかりやすいでしょう。

「濃度＝食塩÷食塩水」を意味から理解する

濃度を求める式は、

食塩の重さ÷食塩水の重さ×100

です。

先ほどの例なら、

20÷200×100＝10

なので、濃度は10％です。

ただし、子どもにこの式だけを暗記させると、しばらくして、

「食塩水÷食塩だっけ？」

と分からなくなりやすいものです。

家庭では、

「200gのうち20gが食塩だから、20は200の何％？」

と説明してみてください。

濃度は「全体に対する食塩の割合」だと理解できれば、式も自然に思い出せます。

百分率を小数に直すと計算しやすい

中学受験では、濃度から食塩の重さを求める問題が頻繁に出ます。

たとえば、

「8％の食塩水250gに含まれる食塩は何gですか」

という問題です。

8％を0.08と考えれば、

250×0.08＝20

したがって、食塩は20gです。

10％なら0.1、5％なら0.05、12％なら0.12です。

この変換をスムーズにできるようにしておくと、濃度問題の計算負担が大きく減ります。

中学受験の濃度問題をパターン別に解いてみよう

濃度問題は種類が多く見えますが、中学受験で頻出する形はある程度決まっています。

大切なのは、問題文を読んだらすぐ公式に数字を入れるのではなく、「食塩の量がどう変化するか」を確認することです。

食塩水を混ぜる問題

例題です。

「10％の食塩水200gと、5％の食塩水300gを混ぜました。できた食塩水の濃度は何％ですか。」

まず、それぞれに含まれる食塩を求めます。

10％の食塩水200gには、

200×0.1＝20g

5％の食塩水300gには、

300×0.05＝15g

の食塩があります。

混ぜたあとの食塩は、

20＋15＝35g

食塩水全体は、

200＋300＝500g

です。

したがって、

35÷500×100＝7

答えは7％です。

この問題で大切なのは、「濃度同士をそのまま足したり平均したりしない」ことです。

10％と5％だから7.5％、とは限りません。

量が200gと300gで違うため、必ず食塩の重さに戻して考えます。

水を加えて薄める問題

次は、

「12％の食塩水200gに水を100g加えました。濃度は何％になりますか。」

という問題です。

最初に入っている食塩は、

200×0.12＝24g

です。

水を加えても、食塩は増えません。

ここが最大のポイントです。

食塩は24gのままですが、食塩水全体は、

200＋100＝300g

になります。

したがって、

24÷300×100＝8

答えは8％です。

「水だけを加えると、食塩の量は変わらず、食塩水全体が増えるため濃度が下がる」

と理解できれば、公式に頼りすぎず解けるようになります。

水を蒸発させて濃くする問題

では、

「10％の食塩水300gから水を100g蒸発させました。濃度は何％ですか。」

とします。

最初の食塩は、

300×0.1＝30g

です。

水が蒸発しても、食塩は蒸発しないと考えます。

したがって食塩は30gのままです。

食塩水全体は、

300－100＝200g

となるので、

30÷200×100＝15

答えは15％です。

このように、水を加える問題と蒸発させる問題は、どちらも「食塩の量が変わらない」と考えるのが基本です。

濃度の応用問題で差がつく考え方

中学受験では、単純な濃度計算だけでなく、途中で食塩水を取り出したり、別の食塩水を加えたりする問題も出題されます。

ここで重要になるのが、「何が変化して、何が変化しないのか」を整理する力です。

食塩の量が変わるのかを最初に確認する

濃度問題を読んだら、まず次のように考えてください。

水を加える
→食塩は変わらない

水を蒸発させる
→食塩は変わらない

食塩を加える
→食塩は増える

食塩水を取り出す
→水も食塩も減る

別の食塩水を加える
→食塩も食塩水全体も増える

この整理だけでも、応用問題の見通しが良くなります。

特に「食塩水を一部取り出す」問題では、食塩だけが残るわけではありません。

たとえば10％の食塩水を50g取り出せば、

50×0.1＝5g

の食塩も同時に取り出されます。

この感覚を身につけることが重要です。

面積図を使うと混合問題が見やすくなる

濃度の混合問題では、面積図を使う方法も有効です。

たとえば、

「4％と10％の食塩水を混ぜて7％にした」

とします。

濃度の差を見ると、

7－4＝3

10－7＝3

です。

差が同じなので、2つの食塩水の重さは同じになります。

一方、

「4％と10％を混ぜて6％」

なら、

6－4＝2

10－6＝4

です。

量の比は、濃度の差を逆にして、

4：2＝2：1

と求められます。

こうした面積図や天びんの考え方は、難関校の問題でもよく利用されます。

ただし、最初からこの方法だけを覚えさせる必要はありません。

まず食塩の量を使う基本解法を理解し、その後に計算を短くする方法として学ぶのがおすすめです。

逆算問題は求める量を先に決める

「何gの水を加えればよいですか」
「何g蒸発させればよいですか」

という逆算型の問題も頻出です。

たとえば、

「10％の食塩水300gに水を加えて6％にします。水を何g加えますか。」

最初の食塩は、

300×0.1＝30g

です。

水を加えても食塩は30gのままなので、6％になったあとの食塩水全体を□gとすると、

30÷□＝0.06

となります。

したがって、

□＝30÷0.06＝500g

最初は300gだったので、

500－300＝200g

の水を加えればよいと分かります。

「何g加えるか」をいきなり求めるより、「最後の食塩水全体はいくらになるか」を先に考えるのがコツです。

濃度問題が苦手な子に家庭でできる教え方

濃度問題が苦手な子に対して、家庭で何度も公式を言わせても、なかなか得点につながらないことがあります。

必要なのは、式を覚えさせることよりも、数量の関係を整理する習慣です。

公式を言わせるより3つの量を書かせる

問題を解く前に、

食塩水＝
食塩＝
濃度＝

と紙に書かせてみてください。

たとえば、

食塩水＝300g
食塩＝？
濃度＝8％

と整理するだけでも、何を求めるべきかが明確になります。

算数が苦手な子ほど、問題文に出てきた数字をすぐ計算しようとします。

「まず3つの量を整理する」

という習慣をつけるだけで、計算ミスや立式ミスを減らせます。

途中式を省略させない

暗算が得意な子でも、濃度問題では途中式を書かせることをおすすめします。

たとえば、

250×0.08＝20g

と書けば、「今、食塩の量を求めている」と本人も確認できます。

途中式を書かず、

250×8÷100

だけを頭の中で処理していると、少し複雑になったときに何の数字なのか分からなくなります。

家庭学習では、正解だけを見るのではなく、

「この20gは何？」

と聞いてみてください。

「食塩の重さ」とすぐ答えられれば、理解できている可能性が高いでしょう。

同じ問題を数字を変えて解き直す

一度解けた問題でも、数字が変わると解けなくなる子は珍しくありません。

これは解き方を理解したのではなく、手順をそのまま覚えていた可能性があります。

そこで、

「10％の食塩水200g」

という問題を解いたら、翌日に、

「8％の食塩水250g」

のように数字だけ変えて解かせてみてください。

さらに、

「水を加える」
「蒸発させる」

と条件も少しずつ変えていきます。

10問を一気に解くよりも、2～3問を数日おきに解き直したほうが、考え方が定着しやすい子も多いです。

大切なのは問題数ではなく、「なぜその計算をするのか」を自分で説明できる状態まで持っていくことです。

まとめ｜濃度問題は「食塩の量」に注目すると解きやすい

中学受験算数の濃度問題は、公式が多くて難しい単元に見えます。

しかし、基本は、

食塩水全体の重さ
食塩の重さ
濃度

という3つの量の関係だけです。

そして問題を解くときには、まず「食塩の量が変わるのか、変わらないのか」を確認してください。

水を加えるなら食塩は変わらない。

水を蒸発させても食塩は変わらない。

食塩水を混ぜるなら、それぞれの食塩を足す。

この考え方が身につけば、問題文が長くなっても整理しやすくなります。

家庭では「公式は何？」と聞くより、

「食塩は何gある？」
「水を加えたら食塩は変わる？」
「今求めた数字は何を表している？」

と問いかけてみてください。

濃度問題は、一度仕組みが見えると得点源に変えやすい単元です。

公式暗記だけに頼らず、食塩の量を中心に考える習慣を身につけることが、中学受験算数で安定して解けるようになる近道です。