中学受験算数｜約数の個数の求め方をやさしく解説

中学受験算数で約数の個数が難しく感じる理由

この記事では、中学受験算数の「約数の個数」について、なぜつまずくのか、基本的な求め方から入試で使える考え方、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数では、倍数・約数は数の性質を学ぶうえで非常に重要な単元です。

特に「約数の個数」は、単純に約数を書き出すだけでなく、素因数分解を使って効率よく求める方法を身につける必要があります。

たとえば「360の約数は何個ありますか」と聞かれたとき、1から順番に調べていては時間がかかります。

そこで使うのが、

「素因数分解して、指数に1を足して掛ける」

という方法です。

ただし、このルールだけを暗記すると、数字が変わった瞬間に混乱する子も少なくありません。

大切なのは、「なぜその計算で約数の個数が分かるのか」まで理解することです。

約数そのものは小学校算数でも扱いますが、中学受験では一段深い理解が必要になります。

約数を全部書き出す方法には限界がある

たとえば12の約数なら、

1、2、3、4、6、12

と簡単に書き出せます。

したがって、約数は6個です。

しかし、120や360、720のように数が大きくなると、書き出す方法では時間がかかります。

さらに、

「書き漏らしていないか」

という確認も必要になります。

中学受験では制限時間の中で問題を解くため、数が大きい場合は規則を利用して求める必要があります。

素因数分解と約数がつながっていない

約数の個数を求める前提になるのが素因数分解です。

たとえば、

12＝2×2×3
＝2²×3

と表せます。

ところが、素因数分解はできても、

「これがなぜ約数の個数と関係するの？」

と感じる子は珍しくありません。

2²×3という形を作ること自体が目的になっていると、公式を忘れたときに解けなくなります。

約数は、素因数である2や3を「何個使うか」を決めて作るものだと理解させることが重要です。

「指数に1を足す」の意味を理解していない

約数の個数を求める公式として、

2²×3¹なら、

（2＋1）×（1＋1）＝6個

と習います。

ここで、

「なぜ2に1を足すの？」

という疑問をそのままにしてはいけません。

2²の場合、約数を作るときに2を使う個数は、

0個
1個
2個

の3通りです。

指数が2だから3通り、つまり「2＋1」になります。

この仕組みを理解すると、公式の暗記ではなく意味から判断できるようになります。

約数の個数の求め方を基本から理解しよう

ここからは、実際の数字を使って約数の個数を求めてみましょう。

まずは約数とは何かを確認する

約数とは、「ある整数を割り切ることができる整数」です。

たとえば12なら、

12÷1＝12
12÷2＝6
12÷3＝4
12÷4＝3
12÷6＝2
12÷12＝1

となります。

したがって、12の約数は、

1、2、3、4、6、12

の6個です。

約数を理解するうえで大切なのは、「かけ算のペア」で見ることです。

12なら、

1×12
2×6
3×4

という3組があります。

このペアを意識すると、書き出すときの漏れも減ります。

24の約数の個数を実際に求める

24を素因数分解すると、

24＝2×2×2×3
＝2³×3

です。

24の約数を作るとき、2は、

0個使う
1個使う
2個使う
3個使う

の4通りあります。

3は、

0個使う
1個使う

の2通りです。

したがって、

4×2＝8

となり、24の約数は8個です。

実際に書き出すと、

1、2、3、4、6、8、12、24

の8個になります。

このように、「素因数を何個使うか」の組み合わせを数えていると理解するのがポイントです。

なぜ指数に1を足して掛けるのか

たとえば、

72＝2³×3²

とします。

2は0個、1個、2個、3個の4通り。

3は0個、1個、2個の3通り。

したがって、約数の個数は、

（3＋1）×（2＋1）
＝4×3
＝12個

です。

一般的には、

ある数＝a^m×b^n

と表せるとき、

約数の個数＝（m＋1）×（n＋1）

と考えます。

素因数が3種類なら、さらにもう1つ掛けます。

つまり、公式の本質は、

「それぞれの素因数を何個使うか、その選び方を全部組み合わせる」

ということです。

中学受験でよく出る約数の個数の問題

基本が分かったら、入試でよく出る形を確認しましょう。

大きな数の約数の個数を求める問題

たとえば、

360の約数の個数を求めなさい。

という問題です。

360を素因数分解すると、

360＝36×10
＝2²×3²×2×5
＝2³×3²×5

となります。

したがって、

（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）

＝4×3×2

＝24

よって、約数は24個です。

この方法なら、約数を24個すべて書き出す必要はありません。

入試では、このように大きな数ほど素因数分解が有効です。

約数が何個ある数かを逆に考える問題

中学受験では、

「約数が6個になる最小の整数を求めなさい」

といった逆向きの問題も出ます。

約数が6個になるには、

6＝6

または、

6＝3×2

と分けて考えます。

指数に1を足したものが6になるので、

指数が5の数、

たとえば、

2⁵＝32

があります。

一方、

3×2

なら指数は、

2と1

です。

最小にするには、小さい素数に大きい指数をつけます。

2²×3
＝12

したがって、約数が6個ある最小の整数は12です。

実際、

12の約数は、

1、2、3、4、6、12

の6個になります。

平方数と約数の個数の関係

約数の個数に関連して、ぜひ知っておきたいのが平方数です。

通常、約数は、

1と12
2と6
3と4

のようにペアになります。

そのため、約数の個数は基本的に偶数です。

しかし、36なら、

1×36
2×18
3×12
4×9
6×6

となり、6だけは自分自身とペアになります。

36の約数は、

1、2、3、4、6、9、12、18、36

の9個です。

つまり、平方数では約数の個数が奇数になります。

反対に、

「約数の個数が奇数になる整数は平方数」

という性質も覚えておくと、中学受験の数の性質の問題で役立ちます。

約数の和との違いに注意する

約数の個数と約数の和を混同する子もいます。

たとえば12なら、

約数は、

1、2、3、4、6、12

なので、

約数の個数は6個。

約数の和は、

1＋2＋3＋4＋6＋12＝28

です。

問題文に、

「何個」

と書いてあるのか、

「和」

と書いてあるのかを必ず確認させましょう。

計算方法を知っていても、問いを読み違えると得点にはなりません。

約数の個数が苦手な子への家庭での教え方

家庭では、いきなり公式を覚えさせるより、数字を小さくして仕組みを理解させることが大切です。

最初は書き出して規則を見つける

まず12、18、24程度の数で、約数を全部書き出してみましょう。

たとえば18なら、

1、2、3、6、9、18

の6個です。

次に、

18＝2×3²

と素因数分解します。

2の使い方は2通り、3の使い方は3通り。

2×3＝6

となり、実際の約数の個数と一致します。

最初に具体例を確認してから公式に進むと、子どもは納得しやすくなります。

素因数分解を縦に書く習慣をつける

約数の個数でミスが多い子は、素因数分解の段階で間違えていることがあります。

たとえば180なら、

180÷2＝90
90÷2＝45
45÷3＝15
15÷3＝5
5÷5＝1

として、

180＝2²×3²×5

と整理します。

頭の中だけで処理させるより、途中式を書かせた方が安全です。

中学受験算数では、途中過程を残すことが計算ミスの防止にもつながります。

公式暗記ではなく「選び方」で説明する

子どもが、

「指数に1を足して掛けるんでしょ」

と言えたとしても、それだけでは安心できません。

「どうして1を足すの？」

と聞いてみてください。

答えられなければ、

「2を0個使う場合もあるよね」

と伝えます。

たとえば2³なら、

1、2、4、8

という4種類の使い方があります。

「使わない」という選択肢が1つあるため、指数に1を足すのです。

この意味が分かれば、公式を忘れても自力で再現できます。

3段階の問題で定着させる

家庭学習では、次の3段階で進めると効果的です。

1段階目は、約数を書き出す問題。

2段階目は、素因数分解して約数の個数を求める問題。

3段階目は、「約数が8個ある整数」のような逆算問題です。

いきなり難問に進むのではなく、

具体的に数える
↓
規則で求める
↓
逆向きに考える

という順番にします。

この流れを身につけると、「約数の個数」は単なる公式問題ではなく、数の仕組みを考える得点源になっていきます。

まとめ｜約数の個数は仕組みが分かれば得点源になる

中学受験算数の「約数の個数」は、最初は公式が分かりにくく感じやすい単元です。

しかし、考え方はそれほど複雑ではありません。

まず数を素因数分解し、

「それぞれの素因数を0個から何個まで使えるか」

を数えます。

たとえば、

72＝2³×3²

なら、

2は4通り
3は3通り

なので、

4×3＝12個

となります。

つまり、

「指数に1を足して掛ける」

という公式は、選び方の数を計算しているだけなのです。

家庭では、公式だけを覚えさせるのではなく、

「どうして＋1するの？」

「0個使う場合は？」

と問いかけてみてください。

さらに、小さな数では実際に約数を書き出し、公式で求めた個数と一致することを確認すると理解が深まります。

中学受験では、数の性質の問題が複雑になっても、基本にあるのは素因数分解と約数の仕組みです。

約数を書き出す段階から、素因数分解、約数の個数、逆算問題へと順番に練習すれば、算数が苦手な子でも十分に得点源にできます。