中学受験算数の群数列を攻略｜基本の解き方とコツ

中学受験算数の群数列とは？まず仕組みを理解しよう

この記事では、そんな悩みに対して、群数列の基本的な仕組みから中学受験でよく出る問題の解き方、家庭での教え方まで順を追って解説します。

群数列は、一見すると数字の並び方が複雑に見える単元です。

しかし、実際に考えていることはそれほど難しくありません。

大切なのは、「どのグループに入っているのか」「そのグループの何番目なのか」の2つを順番に整理することです。

ここが分かるようになると、何十番目、何百番目という問題でも落ち着いて処理できるようになります。

群数列は「グループに分かれた数列」

群数列とは、数が一定のルールでグループ分けされながら並んでいる数列です。

例えば、次のような並びを考えてみましょう。

1｜2、3｜4、5、6｜7、8、9、10｜……

縦線で区切られた部分が、それぞれ1つの「群」です。

第1群には1個、第2群には2個、第3群には3個、第4群には4個の数が入っています。

つまり、群の番号と、その群に入っている数の個数が一致しています。

このような並びは中学受験算数で非常によく扱われます。

問題では、

「20番目の数は第何群に入るか」

「第10群の最後の数はいくつか」

「35番目の数を求めなさい」

といった形で出題されます。

群の番号と項の番号を区別する

群数列で最も多いミスは、「第○群」と「○番目」を混同することです。

例えば、

1｜2、3｜4、5、6｜7、8、9、10

という並びでは、「8」は第4群に入っています。

しかし、数列全体では8番目の数です。

このように、

第4群＝グループの番号
8番目＝最初から数えた位置

という違いがあります。

家庭で教えるときは、

「何組目か」
「全体の何人目か」

と置き換えて説明すると理解しやすくなります。

まず「何個並んでいるか」を見る

群数列を解くとき、いきなり数字そのものを見る必要はありません。

最初に見るべきなのは、「各群に何個ずつ数が入っているか」です。

第1群までなら1個。

第2群までなら、

1＋2＝3個。

第3群までなら、

1＋2＋3＝6個。

第4群までなら、

1＋2＋3＋4＝10個です。

つまり、第n群までに並ぶ数の個数は、

1＋2＋3＋……＋n

で考えられます。

中学受験では、

1＋2＋3＋……＋n
＝n×（n＋1）÷2

という計算を使うことが多くなります。

ただし、最初から公式だけを覚えさせるより、「1群まで1個、2群まで3個、3群まで6個」と実際に書いて理解させる方が定着しやすくなります。

群数列の基本的な解き方を3ステップで理解する

ステップ1｜求めたい数が何群にあるか調べる

例として、

1｜2、3｜4、5、6｜7、8、9、10｜……

という群数列の「50番目の数」を考えます。

まず、50番目が第何群に入っているかを調べます。

第9群までの個数は、

9×10÷2＝45個。

第10群まででは、

10×11÷2＝55個。

したがって、50番目は46番目から55番目までが入る第10群にあります。

ここで重要なのは、最初から50番目の数そのものを探そうとしないことです。

まず「何群にあるか」を確定させることが第一段階です。

ステップ2｜その群の何番目かを求める

第9群までに45個あります。

求めたいのは50番目ですから、

50－45＝5

となります。

つまり、50番目の数は第10群の5番目です。

群数列ではこの、

「直前の群までの個数を引く」

という考え方が非常に重要です。

問題を解くときは、

50番目
↓
第10群
↓
第10群の5番目

と段階を分けて書かせると、途中で混乱しにくくなります。

ステップ3｜問題の条件に合わせて数や和を出す

今回の並びは自然数が1、2、3、4……とそのまま並んでいるので、50番目の数は50です。

しかし、実際の中学受験では、

1｜2、2｜3、3、3｜4、4、4、4｜……

のように、「群番号と同じ数を並べる」問題もあります。

この場合、50番目が第10群の5番目だと分かれば、答えは「10」です。

つまり、群を特定したあとに、「その群ではどんな数が並んでいるか」を確認する必要があります。

中学受験でよく出る群数列の典型問題

「50番目の数」を求める問題

次の群数列を考えます。

1｜2、2｜3、3、3｜4、4、4、4｜……

この数列の50番目の数を求めます。

第9群までの個数は、

9×10÷2＝45個。

第10群まででは55個です。

したがって、50番目は第10群にあります。

第10群には「10」が10個並んでいるため、

答えは10です。

このタイプでは、「何番目」という言葉を見た瞬間に、まず群を探す習慣をつけましょう。

「ある数が何番目か」を求める問題

例えば、

1｜2、2｜3、3、3｜……｜8、8、8、8、8、8、8、8｜……

という群数列で、最初の「8」が何番目かを考えます。

第7群までの個数は、

7×8÷2＝28個。

したがって、第8群の最初の数は、

28＋1＝29番目です。

ここで「28番目」としてしまうミスがよくあります。

直前の群までが28個なので、新しい群の最初は必ず「＋1」になることを確認してください。

群数列の和を求める問題

群数列では、「最初から○番目までの和」を求める問題もよく出ます。

例えば、

1｜2、2｜3、3、3｜4、4、4、4｜……

の第5群までの和を考えます。

第1群の和は、

1×1＝1。

第2群は、

2×2＝4。

第3群は、

3×3＝9。

つまり、第n群の和は、

n×n

になります。

第5群までなら、

1＋4＋9＋16＋25＝55

です。

このように、群数列では「個数」だけでなく、「1つの群の合計」に注目する問題もあります。

分数を使った群数列にも注意する

難関校では、分数を使った群数列も見られます。

例えば、

1/2｜1/3、2/3｜1/4、2/4、3/4｜……

という並びです。

第n群では、分母がn＋1になり、分子が1からnまで並んでいます。

この場合も基本は同じです。

最初に、

「求めたい項が第何群にあるか」

を確認し、そのあとに、

「その群の何番目か」

を求めます。

数字の見た目が複雑になっても、解き方の骨組みは変わりません。

群数列が苦手な子への家庭での教え方

いきなり公式を覚えさせない

群数列が苦手な子に、

n×（n＋1）÷2

だけを覚えさせても、なかなか安定しません。

「なぜこの式になるのか」が分からないまま使っていると、少し問題文が変わっただけで使えなくなるからです。

まずは、

1
1＋2
1＋2＋3
1＋2＋3＋4

と実際に書かせ、

1、3、6、10……

と個数が増えることを確認しましょう。

そのうえで公式を使うと、「何を計算している式なのか」が理解しやすくなります。

最初の5群程度を実際に書かせる

群数列は、頭の中だけで考えると混乱しやすい単元です。

例えば、

第1群：1
第2群：2、2
第3群：3、3、3
第4群：4、4、4、4
第5群：5、5、5、5、5

というように、最初の数群をノートに書かせてください。

その横に、

第1群まで1個
第2群まで3個
第3群まで6個
第4群まで10個
第5群まで15個

と書けば、群番号と通し番号の関係が視覚的に分かります。

「群・個数・通し番号」の3点を書かせる

途中式を書くときは、

第9群まで45個
50番目は第10群
50－45＝5
第10群の5番目

というように、考えた順番を残すことが大切です。

算数が苦手な子ほど、「頭の中では分かっているから」と途中式を省きやすい傾向があります。

ところが群数列は、途中の情報を1つ飛ばすだけで間違いやすくなります。

家庭では答えだけを見るのではなく、「第何群かを書いているか」をチェックしてあげてください。

間違えた問題は翌日にもう一度解く

群数列は、一度理解しただけでは定着しにくい単元でもあります。

その日のうちに解き直すと、解説を覚えているため正解できることがあります。

そこでおすすめなのが翌日の再演習です。

例えば、

1日目：解説を見ながら理解
2日目：同じ問題を自力で解く
1週間後：似た問題を解く

という流れにすると、解法が定着しやすくなります。

特に、

「第何群かを求める」
「群の何番目かを求める」

という2段階を自力で再現できるか確認してください。

まとめ｜群数列は「どの群の何番目か」で考えれば解ける

中学受験算数の群数列は、数字がたくさん並ぶため難しそうに見えますが、基本となる考え方はシンプルです。

まず、

「各群に何個ずつ並ぶのか」

を確認します。

次に、

「求めたい項は第何群にあるのか」

を調べます。

そして、

「その群の何番目なのか」

を求めます。

この順番を守れば、多くの群数列問題を整理して解けるようになります。

特に大切なのは、「第○群」と「○番目」を混同しないことです。

家庭学習では、公式を暗記させることよりも、最初の数群を実際に書き、

「第3群まで6個」
「第4群まで10個」

と確認させてください。

群数列が苦手な子でも、問題を小さな段階に分ければ十分に理解できます。

焦って難問を増やすより、まずは典型問題で「何群の何番目か」を正確に求める練習を積み重ねることが、得点力につながります。