中学受験算数のすれ違い問題｜旅人算の解き方を解説

中学受験算数の「すれ違い問題」とは？

この記事では、中学受験算数のすれ違い問題について、なぜ速さを足すのかという基本から、典型的な解き方、応用問題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数でいう「すれ違い問題」は、旅人算の代表的な問題です。

2人が別々の場所から向かい合って進み、どこで出会うのか、何分後に出会うのかを求めます。

速さの公式自体は、

速さ＝道のり÷時間

ですが、すれ違い問題では「2人の間の距離がどのように変化するか」を考えることが重要です。

すれ違いは旅人算の基本パターン

たとえば、A地点とB地点が900m離れているとします。

A君はA地点から毎分60m、B君はB地点から毎分40mで、お互いに向かって同時に歩き始めました。

このとき、2人は何分後に出会うでしょうか。

答えは、

900÷(60＋40)
＝900÷100
＝9分

です。

すれ違い問題の基本形は、

最初の距離÷2人の速さの和＝出会うまでの時間

となります。

ただし、この公式だけを暗記させると、追いかけ問題などで混乱しやすくなります。

向かい合って進むと距離が速く縮まる

なぜ60＋40をするのでしょうか。

1分後を考えると分かりやすくなります。

A君は60m進みます。

同時にB君も反対側から40m進みます。

つまり、2人の間の距離は1分間で、

60＋40＝100m

縮まります。

最初に900m離れていて、1分ごとに100mずつ近づくので、

900÷100＝9分

となるわけです。

すれ違い問題では、「2人が合わせて何m進むか」と考えると理解しやすくなります。

「速さを足す」理由を理解することが大切

旅人算でよくある混乱が、

「足すの？引くの？」

というものです。

判断の基本は、2人の間の距離を見ることです。

向かい合って進む
→距離が2人分縮まる
→速さを足す

同じ方向に進んで追いつく
→速い人が遅い人との差を縮める
→速さを引く

と整理します。

家庭で教えるときは、「すれ違いだから足す」と覚えさせるより、

「2人の間は1分で何m縮む？」

と聞いたほうが、応用問題にも対応しやすくなります。

すれ違い問題の基本的な解き方を例題で理解する

ここからは、中学受験でよく出る基本パターンを見ていきます。

向かい合って進む2人が出会う問題

【例題】

A地点とB地点は1500m離れています。

兄はA地点から毎分80m、弟はB地点から毎分70mで、同時に向かい合って歩き始めました。

何分後に出会いますか。

1分間で縮まる距離は、

80＋70＝150m

です。

したがって、

1500÷150＝10分

答えは10分後です。

このタイプでは、

距離÷速さの和

で求めます。

出会った場所を求める問題

先ほどの例で、「A地点から何mの場所で出会いますか」と聞かれた場合を考えます。

出会うまでの時間は10分です。

兄は毎分80mなので、

80×10＝800m

進みます。

したがって、A地点から800mの場所で出会います。

弟なら、

70×10＝700m

です。

800＋700＝1500m

となり、最初の距離とも一致します。

ここで確認計算をする習慣をつけると、計算ミスにも気づきやすくなります。

出発時刻が違うすれ違い問題

中学受験では、2人が同時に出発しない問題もよく出ます。

たとえばA地点とB地点が1800m離れているとします。

A君は毎分60mで先に出発し、5分後にB君が毎分90mで反対側から出発しました。

まず、A君が先に5分間で進んだ距離は、

60×5＝300m

です。

したがって、B君が出発した時点で2人の距離は、

1800－300＝1500m

です。

その後は向かい合って進むので、

60＋90＝150m

ずつ距離が縮みます。

1500÷150＝10分

したがって、B君が出発してから10分後に出会います。

A君が出発してからなら15分後です。

このタイプでは、2人が動き始める時点の距離を先に求めることがポイントです。

中学受験で差がつくすれ違い問題の応用パターン

基本問題が解けるようになったら、入試でよく出る応用パターンにも慣れておきましょう。

往復する2人が何度もすれ違う問題

2人が一本道の両端を何度も往復する問題では、2回目、3回目のすれ違いが問われます。

このタイプで重要なのは、1回ごとの動きを細かく追いすぎないことです。

たとえば2人が同時に両端から出発して往復を続ける場合、一定時間の中で2人が進んだ道のりの合計に注目します。

最初の出会いでは、

2人が進んだ道のりの合計＝道全体の長さ

です。

その後、折り返しを含めると、進んだ道のりの合計が道の長さの3倍、5倍……となる形が現れる場合があります。

難関校では、この規則性と旅人算を組み合わせた出題も見られます。

電車や列車がすれ違う問題

電車同士のすれ違いでは、人の旅人算と少し違いがあります。

電車には「長さ」があるからです。

たとえば長さ120mの電車Aと長さ180mの電車Bが向かい合って進み、完全にすれ違うまでを考える場合、必要な距離は、

120＋180＝300m

です。

この300mを、2本の電車の速さの和で割ります。

つまり、

2本の長さの和÷速さの和＝完全にすれ違う時間

です。

人同士なら点として考えられますが、列車では先頭が出会っただけでは「すれ違い完了」ではない点に注意しましょう。

円形の道ですれ違う問題

円形の道を反対方向に進む問題も、基本は同じです。

円周が1200mの道を、A君が毎分70m、B君が毎分50mで同じ場所から反対方向に進むとします。

再び出会うためには、2人が合わせて円周1周分の1200m進めばよいので、

1200÷(70＋50)
＝1200÷120
＝10分

です。

円形になると難しく感じる子が多いですが、

「2人の間の距離がどう変わるか」

という考え方は一本道と変わりません。

グラフと組み合わせた旅人算

中学受験では、すれ違い問題がダイヤグラムや距離のグラフと組み合わされることもあります。

横軸が時間、縦軸が地点や距離を表すグラフでは、2本の線が交わるところが「出会った時刻」です。

たとえば、

A君の線が右上がり
B君の線が右下がり

なら、その交点がすれ違った地点になります。

グラフ問題でも、図だけを読むのではなく、

「この交点は2人が同じ時刻に同じ場所にいる」

と意味で理解することが大切です。

すれ違い問題が苦手な子に家庭でできる教え方

すれ違い問題が苦手な子は、速さの計算そのものより「状況を頭の中で整理できていない」ケースが多くあります。

家庭では、いきなり公式を使わせず、動きを見える形にすることから始めましょう。

最初に2人の進む方向を図にする

たとえば、

A地点　A君→　　　　←B君　B地点

のような簡単な図を書くだけで構いません。

矢印を書くと、「近づいている」のか「同じ方向に進んでいる」のかが分かります。

この違いが分かれば、

速さを足すのか引くのか

という判断も自然にできるようになります。

「1分で何m近づく？」と聞く

子どもが迷ったら、

「公式は何？」

ではなく、

「1分たったら2人の距離は何m縮む？」

と聞いてみてください。

毎分60mと毎分40mなら、

60＋40＝100m

と答えられます。

その後、

「最初は900m離れているなら、100mずつ縮めて何分？」

と聞けば、

900÷100＝9分

とつながります。

こうすると公式を覚えなくても、自分で式を作れます。

公式を覚える前に距離の変化を確認する

旅人算では、

距離÷速さの和

という形だけを暗記すると、問題が少し変わっただけで対応できなくなることがあります。

たとえば出発時間が違えば、最初の距離そのものを計算し直す必要があります。

そのため、

最初の距離
↓
1分間で縮む距離
↓
何分かかるか

という順番で考える習慣をつけることが重要です。

間違いを速さ・時間・距離に分けて見直す

間違えたときは、すべてを「旅人算が苦手」で終わらせないでください。

たとえば、

速さを足すところで引いた
時間の単位をそろえなかった
最初の距離を間違えた
出会った後の距離まで計算してしまった

など、原因はさまざまです。

間違いの横に、

「方向ミス」
「単位ミス」
「距離ミス」

などと簡単に書くだけでも、同じ間違いを繰り返しにくくなります。

特に旅人算は、計算よりも図と状況整理のミスが多い単元です。

まとめ｜すれ違い問題は「距離の縮まり方」が分かれば解ける

中学受験算数のすれ違い問題は、旅人算の中でも基本となるパターンです。

大切なのは、

向かい合って進むと、2人の速さを足した分だけ距離が縮む

という考え方です。

たとえば毎分60mと毎分40mで向かい合うなら、

60＋40＝100m

ずつ毎分距離が縮まります。

最初に900m離れていれば、

900÷100＝9分

で出会います。

この仕組みが理解できれば、

出発時間が違う問題
何度も往復する問題
列車のすれ違い
円形の道
グラフ問題

にも応用できます。

家庭で教えるときは、

「足す？引く？」

と公式を確認するより、

「1分間で2人の間は何m変わる？」

と聞いてみてください。

この問いに答えられるようになると、子ども自身が式を組み立てられるようになります。

すれ違い問題は、公式暗記よりも「人がどう動き、距離がどう変わるか」を図で理解することが得点につながります。

まずは簡単な一本道の問題から、図を書く→1分間の変化を考える→時間を求める、という順番を繰り返し練習していきましょう。