中学受験算数の規則性と分数｜解き方と例題

中学受験算数の「規則性×分数」が難しい理由

この記事では、中学受験算数でよく出る分数の規則性について、見つけ方の基本から例題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数の規則性は、数字の並びから「どんなルールで変化しているか」を見つける問題です。

整数だけなら、

2、5、8、11、14……

のように「3ずつ増えている」と比較的すぐ気づけます。

ところが分数になると、

1/2、2/3、3/4、4/5……

のように、分子と分母の両方が変化します。

そのため、算数が苦手な子ほど「数字が二つあるだけで難しそう」と感じやすくなります。

分子と分母を同時に見る必要がある

分数の規則性問題で最初につまずきやすいのは、分子と分母を一度に見ようとすることです。

たとえば、

1/3、2/5、3/7、4/9……

という並びがあったとします。

これを分数のまま見ると少し分かりにくいですが、

分子：1、2、3、4……
分母：3、5、7、9……

と分ければ、

分子は1ずつ増える
分母は2ずつ増える

という規則がすぐ見つかります。

分数の規則性は、「一つの複雑な並び」ではなく、「二つの数列が組み合わさっている」と考えると理解しやすくなります。

見た目が複雑でも規則は別々に考えられる

たとえば、

1/2、2/4、3/8、4/16……

という問題があったとします。

分子を見ると、

1、2、3、4……

なので1ずつ増えています。

分母を見ると、

2、4、8、16……

なので2倍ずつ増えています。

したがって5番目は、

5/32

です。

「分数だから特別な方法が必要」と考える必要はありません。

まず上下を別々に見る。

これが基本です。

何番目かを聞かれると急に難しくなる

最初の数項を見て次の1個を答えるだけなら、多くの子が解けます。

難しくなるのは、

「20番目はいくつですか」

「分子が25になるのは何番目ですか」

と聞かれたときです。

ここでは、単に規則を見つけるだけでなく、「何番目と数字の関係」を式にする必要があります。

たとえば、

1/3、2/5、3/7、4/9……

ならn番目は、

分子＝n
分母＝2n＋1

です。

中学受験では文字式を本格的に使わなくても、「20番目なら分子は20、分母は2×20＋1」と考えれば求められます。

分数の規則性問題で使う基本の見つけ方

分数の規則性問題は、順番を決めて見るとかなり解きやすくなります。

いきなり答えを出そうとせず、次の3点を確認しましょう。

まず分子だけ・分母だけに分けて見る

たとえば、

2/5、4/8、6/11、8/14……

という並びなら、

分子：2、4、6、8
分母：5、8、11、14

と書きます。

すると、

分子は2ずつ増える
分母は3ずつ増える

と分かります。

次の数は、

10/17

です。

家庭で教えるときも、

「次はいくつ？」

ではなく、

「上だけ見るとどうなってる？」
「下だけ見るとどうなってる？」

と質問すると、子ども自身で規則を発見しやすくなります。

差・倍数・くり返しを確認する

規則性でよく使われるのは主に3種類です。

1つ目は、一定の数ずつ増える「差」。

3、7、11、15……なら4ずつ増えています。

2つ目は、「倍」。

2、4、8、16……なら2倍ずつです。

3つ目は、「くり返し」。

1、2、3、1、2、3……のような周期です。

分数でも同じように、

分子は1ずつ増える
分母は2倍になる

といった組み合わせが出ます。

まず「差」「倍」「くり返し」のどれかを疑うだけでも、見つけやすくなります。

約分する前の形も確認する

分数の規則性で意外に重要なのが、「すぐに約分しない」ことです。

たとえば、

1/2、2/4、3/6、4/8……

はすべて約分すると1/2です。

しかし規則性問題として見るなら、

分子：1、2、3、4
分母：2、4、6、8

という並びに意味があります。

途中で全部1/2にしてしまうと、本来の規則が見えなくなります。

「値として同じ分数」と「並び方としての分数」は別に考える必要があります。

中学受験でよく出る分数の規則性を例題で解説

ここからは、代表的な問題を実際に解いてみましょう。

分子と分母が一定ずつ増えるパターン

例題

2/3、4/6、6/9、8/12……と並んでいます。10番目の分数を求めなさい。

分子は、

2、4、6、8……

なので2ずつ増えます。

10番目は、

2×10＝20

です。

分母は、

3、6、9、12……

なので3ずつ増えます。

10番目は、

3×10＝30

です。

したがって、

20/30

となります。

約分すれば2/3です。

ただし、「並びの中の10番目」として考える段階では20/30と出すことがポイントです。

分母に平方数が並ぶパターン

例題

1/1、2/4、3/9、4/16、5/25……

このとき8番目の分数を求めなさい。

分子は、

1、2、3、4、5……

なので、8番目は8。

分母は、

1、4、9、16、25……

です。

これは、

1×1
2×2
3×3
4×4
5×5

となっているので、8番目は、

8×8＝64

です。

したがって答えは、

8/64

です。

約分すると1/8になります。

平方数は中学受験の規則性でよく登場するため、

1、4、9、16、25、36、49、64……

くらいまでは自然に気づけるようにしておくと有利です。

群に分けられた分数列のパターン

少し難しい問題も見てみましょう。

1/1｜1/2、2/1｜1/3、2/2、3/1｜1/4、2/3、3/2、4/1……

という並びがあります。

これは群ごとに、

第1群：1個
第2群：2個
第3群：3個
第4群：4個

と分数の個数が増えています。

さらに第4群を見ると、

1/4、2/3、3/2、4/1

となっており、分子は増え、分母は減っています。

このような問題では、

「何個ずつ並んでいるか」

と

「群の中で数字がどう変わるか」

の二段階で規則を探します。

群数列と分数が組み合わさると難しく見えますが、まずグループに分ければ整理しやすくなります。

規則性の分数問題を家庭で伸ばす勉強法

規則性は、「解き方を暗記する」より「変化に気づく練習」をするほうが重要です。

家庭では難問を大量に解く必要はありません。

最初の5～6項を自分で書き出す

規則が分からないときは、頭の中だけで考えないことが大切です。

たとえば、

1/2、2/5、3/10……

の続きを考えるときも、分子と分母を別々にノートへ書かせます。

分子：1、2、3
分母：2、5、10

この時点で分からなければ、差も書きます。

分母の差は、

3、5……

なので、次は7ではないか、と予想できます。

中学受験算数では、「書いて確かめる」ことも立派な解法です。

「何が変わった？」と親が質問する

保護者が先に規則を教えてしまうと、子どもは自分で見つける経験を積めません。

そこで、

「分子はどう変わってる？」
「分母は？」
「前との差はいくつ？」
「同じ動きを繰り返していない？」

と聞いてみてください。

規則性では、この問いかけだけで自力で気づけるケースがかなりあります。

親が解法を全部説明する必要はありません。

答えより規則を言葉で説明させる

たとえば10番目の答えが5/11と出ても、それだけでは理解しているか分かりません。

「どんな規則だった？」

と聞き、

「分子は1ずつ増えて、分母は2ずつ増える」

と説明できれば理解しています。

さらに、

「じゃあ20番目は？」

と数字を変えてみましょう。

数字が変わっても解ければ、規則そのものを理解できています。

逆に、似た問題で止まるなら、答えだけ覚えていた可能性があります。

まとめ｜分数の規則性は「分けて見る」と解きやすい

中学受験算数の分数を使った規則性は、見た目が複雑なので苦手意識を持ちやすい単元です。

しかし、基本の考え方はそれほど複雑ではありません。

まず、

分子だけを見る
分母だけを見る

という2つに分けます。

そのうえで、

一定の差で増えているか
何倍かになっているか
同じ動きを繰り返しているか
平方数などの特別な並びになっていないか

を確認します。

さらに群数列なら、「何個ずつ並んでいるか」と「群の中の分数の変化」を別々に考えましょう。

家庭学習では、いきなり公式のようなものを覚えさせる必要はありません。

まず最初の5～6個を書き、

「上の数字はどう変わった？」

「下の数字は？」

と親子で確認するだけでも十分です。

規則性の問題で本当に必要なのは、ひらめきではなく、数字の変化を整理して観察する力です。

分数になっても、

「複雑な一つの問題」

として見るのではなく、

「分子の規則」
「分母の規則」

に分ける。

この習慣が身につけば、分数列だけでなく、数列、群数列、周期、図形の規則性にも応用できるようになります。