受験算数の和差算｜図でわかる基本の解き方

受験算数の和差算とはどのような問題か

この記事では、受験算数の和差算について、公式の意味から線分図を使った解き方、入試でよく出る問題、家庭での定着方法まで順を追って解説します。

和差算は、二つの数量を合わせた数と、二つの数量の違いから、それぞれの大きさを求める問題です。

中学受験では、最初に学ぶ特殊算の一つとして扱われることが多く、後に学ぶ年齢算やつるかめ算、差集め算などの土台にもなります。

計算自体は難しくありませんが、問題文から「和」と「差」を正しく読み取る力が必要です。

二つの数量の和と差からそれぞれを求める

和差算の基本問題は、次のような形です。

「兄と弟が持っているカードは合わせて40枚です。兄は弟より8枚多く持っています。それぞれ何枚持っていますか」

この問題では、二人のカードの合計である40枚が「和」です。

兄と弟のカードの違いである8枚が「差」です。

和と差が分かっているため、兄と弟それぞれのカードの枚数を求められます。

大きい数は、

（和＋差）÷2

小さい数は、

（和－差）÷2

で求められます。

ただし、公式だけを暗記すると、どちらに差を足せばよいのか分からなくなりやすいため、考え方の理解が重要です。

問題文に「和」や「差」がない場合もある

入試問題では、「和は40」「差は8」と直接書かれているとは限りません。

例えば、次の表現も和差算です。

「赤い玉と白い玉は全部で40個あり、赤い玉は白い玉より8個多い」

「姉と妹の貯金を合わせると4,000円で、姉の方が800円多い」

「二つの数を足すと72になり、大きい数から小さい数を引くと16になる」

「合わせて」「全部で」「合計」は和を表します。

「より多い」「違いは」「引くと」は差を表します。

問題文の表現が変わっても、二つを合わせた数と違いが示されていることに気づければ、和差算として整理できます。

つるかめ算や年齢算にもつながる考え方

和差算の中心は、二つの数量を同じ大きさにそろえて考えることです。

大きい数から差を取り除けば、二つの数量は同じになります。反対に、小さい数に差を加えても同じ大きさになります。

この「余分な部分を取り除いてそろえる」という考え方は、ほかの特殊算でも使われます。

年齢算では二人の年齢差が変わらないことを利用します。差集め算では、1つ分の差がいくつ集まっているかを考えます。

和差算を公式だけでなく意味から理解しておくと、後に学ぶ文章題にも対応しやすくなります。

和差算の基本的な解き方

先ほどの問題を使って、和差算の解き方を確認します。

「兄と弟のカードは合わせて40枚で、兄は弟より8枚多く持っています」

和は40、差は8です。

大きい数は「和＋差」を2で割る

兄のカードの枚数を求めるには、

（40＋8）÷2
＝48÷2
＝24枚

と計算します。

兄は24枚です。

なぜ和に差を足すのでしょうか。

弟が持っているカードに、兄との差である8枚を加えると、弟のカードも兄と同じ24枚になります。

すると、二人分の合計は本来の40枚より8枚多い48枚になります。

48枚は、兄と同じ枚数が二人分ある状態です。そのため、2で割ると兄の24枚が求められます。

小さい数は「和－差」を2で割る

弟のカードを直接求める場合は、

（40－8）÷2
＝32÷2
＝16枚

と計算します。

弟は16枚です。

兄のカードから差の8枚を取り除くと、兄も弟と同じ16枚になります。

二人分の合計は、本来の40枚から8枚少ない32枚です。

32枚は、弟と同じ枚数が二人分ある状態なので、2で割ると弟の16枚が求められます。

大きい数を求めるときは差を足し、小さい数を求めるときは差を引くという公式は、このように「二つを同じにそろえる」ことで生まれます。

線分図を使うと公式の意味が分かる

線分図では、兄と弟のカードを横線で表します。

弟の線を16枚分とすると、兄の線は弟と同じ部分に、差の8枚分が付いた形です。

二本の線を合わせた長さが40枚です。

兄の余分な8枚を取り除くと、同じ長さの線が二本になります。

40－8＝32枚

32÷2＝16枚

これが弟のカードです。

兄は、

16＋8＝24枚

と求められます。

線分図を書くと、「なぜ差を引くのか」「なぜ2で割るのか」が視覚的に分かります。

算数が苦手な子には、公式を先に覚えさせるより、長さの違う二本の線を書かせる方が理解しやすいでしょう。

答えは和と差の両方で確かめる

答えが兄24枚、弟16枚と出たら、二つの条件で確かめます。

和は、

24＋16＝40枚

です。

差は、

24－16＝8枚

です。

問題文の和と差の両方に合っているため、正解だと分かります。

和差算では、足し算だけを確認して終わる子もいます。しかし、二つの数を取り違えていても、和だけは合う場合があります。

必ず和と差の両方を確かめる習慣をつけましょう。

入試で出る和差算の代表的な問題

入試では、二つの数をそのまま求める基本問題だけでなく、数量を移したり、三つの数を扱ったりする問題も出ます。

複雑に見えても、最終的に和と差を作れないかを考えることが大切です。

二人の持っている個数を求める問題

【問題】

姉と妹は合わせて72個のシールを持っています。姉は妹より18個多く持っています。それぞれ何個ですか。

姉は大きい数なので、

（72＋18）÷2
＝90÷2
＝45個

です。

妹は、

72－45＝27個

です。

答えは、姉45個、妹27個です。

確かめると、

45＋27＝72
45－27＝18

となり、二つの条件に合っています。

一方から他方へ移す問題

【問題】

兄と弟は合わせて60枚のカードを持っています。兄から弟へ6枚渡すと、二人の枚数が同じになります。最初はそれぞれ何枚持っていましたか。

6枚渡すと同じになるため、最初の差は6枚ではありません。

兄は6枚減り、弟は6枚増えます。二人の差は、

6＋6＝12枚

縮まります。

したがって、最初の差は12枚です。

兄は、

（60＋12）÷2
＝72÷2
＝36枚

弟は、

60－36＝24枚

です。

「何個渡すと同じ」という問題では、渡した数の2倍が最初の差になる点に注意しましょう。

三つの数量を順番に整理する問題

【問題】

A、B、Cの三人が持っている本は合計で90冊です。AはBより12冊多く、BはCより9冊多く持っています。それぞれ何冊ですか。

まず、すべてをCと同じ冊数だと考えます。

BはCより9冊多く、AはBより12冊多いため、AはCより、

9＋12＝21冊

多く持っています。

余分な冊数は、

Aの21冊＋Bの9冊＝30冊

です。

合計90冊から余分な30冊を引くと、

90－30＝60冊

これはCと同じ冊数が三人分ある状態です。

60÷3＝20冊

Cは20冊、Bは29冊、Aは41冊です。

三つの数量では、一番小さい数にそろえると整理しやすくなります。

年齢や周の長さと組み合わされた問題

和差算は、年齢問題や図形問題にも使われます。

例えば、「母と子の年齢の合計は50歳で、母は子より28歳年上」という問題です。

母の年齢は、

（50＋28）÷2
＝78÷2
＝39歳

子は、

50－39＝11歳

です。

また、長方形の縦と横の和が半周にあたり、縦と横の差が示される問題も和差算で解けます。

周の長さが50cmなら、縦と横の和は、

50÷2＝25cm

です。

縦が横より7cm長ければ、

（25＋7）÷2＝16cm

が縦、横は9cmとなります。

和が直接示されていない場合は、先に必要な和を作ることがポイントです。

家庭で和差算の解き方を定着させる方法

和差算を苦手にする子は、公式を知らないのではなく、問題文の条件と公式が結びついていないことが多いものです。

家庭学習では、式を急いで覚えさせず、そろえる考え方を言葉と図で確認しましょう。

公式を覚える前に差の部分を取り除く

最初は、大きい数の余分な部分を実際に隠して考えます。

例えば、兄24個、弟16個を丸で表し、兄の余分な8個を線で囲みます。

その8個を隠すと、16個ずつの同じ集まりが二つ残ります。

「合計から差を引くと、小さい数が二つ分になる」と体験できれば、

（和－差）÷2

の意味が分かります。

公式は、この体験の後に言葉としてまとめると定着しやすくなります。

問題文を和・差・求める数に分ける

問題を読んだら、ノートに次の三項目を書きます。

和：二つを合わせた数
差：大きい方と小さい方の違い
求める数：大きい方か小さい方か

例えば、和72、差18、大きい数を求めると整理できれば、

（72＋18）÷2

と判断できます。

問題文からすぐ式を作るのではなく、条件を短い言葉に直すことで、足すか引くかの混乱を減らせます。

基本から応用へ3段階で練習する

和差算の練習は、次の順番で進めます。

第一段階は、和と差が直接示される問題です。

第二段階は、「何個渡すと同じになる」など、差を自分で求める問題です。

第三段階は、三つの数量、年齢、図形などと組み合わされた問題です。

基本問題10問中8問以上を自力で解き、線分図でも説明できるようになってから応用へ進みましょう。

基本が不安定なまま難問を解かせると、問題ごとの手順を暗記する学習になりやすいため注意が必要です。

間違いを原因別に直す

和差算で間違えたときは、原因を次のように分けます。

• 和を読み取れなかった
• 差を読み取れなかった
• 大きい数と小さい数を取り違えた
• 差を2倍する問題に気づかなかった
• 2で割るのを忘れた
• 計算を間違えた

例えば、「6枚渡すと同じ」を差6枚と考えたなら、和差算の公式ではなく、移した前後の変化を復習する必要があります。

すべてを計算ミスとして片づけず、どの判断で間違えたかを見ることが、効率のよい立て直しにつながります。

まとめ｜和差算は二つを同じ大きさにそろえて考える

受験算数の和差算は、二つの数量の和と差から、それぞれの大きさを求める問題です。

大きい数は、

（和＋差）÷2

小さい数は、

（和－差）÷2

で求められます。

ただし、公式をそのまま暗記するだけでは、どちらに差を足すのか迷いやすくなります。

大きい数から差を取り除けば、小さい数と同じ大きさになります。小さい数に差を加えれば、大きい数と同じ大きさになります。この「二つを同じにそろえる」という意味を理解することが重要です。

家庭では線分図を使い、和、差、求める数を整理してから式を作らせましょう。

「何個渡すと同じ」という問題では、渡した数の2倍が元の差になることにも注意が必要です。

和差算を意味から理解できれば、年齢算、差集め算、図形問題など、さまざまな受験算数の文章題へ応用できるようになります。