中学受験算数の歯車問題を攻略｜逆比と回転数のコツ

中学受験算数の歯車問題で最初に覚えたい基本

この記事では、中学受験算数の歯車問題について、歯数と回転数の関係、逆比、回転方向、典型問題の解き方まで、家庭で説明できるレベルで順を追って解説します。

中学受験算数の歯車問題は、初めて見ると複雑に感じやすい単元です。

歯車が2個なら分かっても、3個、4個と増えたり、同じ軸についた歯車が登場したりすると、一気に混乱する子も少なくありません。

しかし、歯車問題で本当に理解しておきたい考え方は多くありません。

中心になるのは、

「歯数が多いほどゆっくり回り、歯数が少ないほどたくさん回る」

という関係です。

ここを理解すると、暗記する公式を増やさなくても多くの問題に対応できます。

歯数が多い歯車ほど回転数は少なくなる

まず、歯数20の歯車Aと歯数40の歯車Bがかみ合っているとします。

Aが1回転すると、Aの20個の歯がB側を通過します。

ところがBは40個の歯を持っているため、20個分動いただけでは1回転できません。

Bが動くのは半回転です。

つまり、

A：20枚・1回転
B：40枚・0.5回転

となります。

反対に、Aが2回転すれば20×2＝40個の歯が通るので、Bは1回転します。

この例から分かるのは、

歯数が2倍になると、回転数は2分の1になる

ということです。

家庭で教えるときは、いきなり式を覚えさせるより、

「大きな歯車は1周するまでにたくさん歯が必要だから、ゆっくり回る」

と説明するとイメージしやすくなります。

歯数と回転数は逆比になる

歯車問題で重要なのが「逆比」です。

たとえばAとBの歯数が、

A：B＝20：30＝2：3

だったとします。

AとBがかみ合って動くと、回転数の比は逆になり、

A：B＝3：2

となります。

なぜなら、

歯数×回転数

を比べると、

2×3＝6
3×2＝6

となり、同じになるからです。

実際の問題では、

Aの歯数×Aの回転数＝Bの歯数×Bの回転数

という関係を使えます。

たとえば歯数24のAが5回転するとき、歯数40のBの回転数を□回とすれば、

24×5＝40×□

120＝40×□

□＝3

です。

したがってBは3回転します。

「逆比だから反対にする」とだけ覚えるより、

かみ合う部分を通過する歯の数が同じ

と理解しておくほうが応用問題に強くなります。

かみ合う歯車は回転方向が反対になる

回転方向もよく問われます。

Aが時計回りなら、直接かみ合っているBは反時計回りです。

BとさらにCがかみ合っていれば、Cは再び時計回りになります。

つまり、

A：時計回り
B：反時計回り
C：時計回り
D：反時計回り

というように、1つかみ合うたびに方向が反対になります。

3個の歯車が一直線につながっているなら、最初と最後は同じ方向。

4個なら反対方向です。

回転数の計算とは別に、矢印を書いて確認するとミスを防ぎやすくなります。

歯車の典型問題を具体例で解いてみよう

2つの歯車の回転数を求める問題

次のような典型問題を考えます。

歯数30の歯車Aと、歯数45の歯車Bがかみ合っています。Aが6回転したとき、Bは何回転するでしょうか。

基本式は、

歯数×回転数＝歯数×回転数

です。

したがって、

30×6＝45×Bの回転数

180＝45×Bの回転数

180÷45＝4

よってBは4回転です。

比で考えることもできます。

歯数の比は、

30：45＝2：3

なので、回転数の比は逆比で、

3：2

です。

Aが6回転なら、

3→6

と2倍になっているので、Bも、

2×2＝4回転

となります。

どちらの解き方でも答えは同じです。

算数が苦手な子の場合は、最初は「歯数×回転数」で解き、慣れてから逆比を使う方法でも構いません。

3つ以上の歯車がつながる問題

次は、

A―B―C

と3つの歯車が順番にかみ合っている場合です。

Aの歯数が20、Bが30、Cが50で、Aが10回転するとします。

Cは何回転するでしょうか。

AからBを見ると、

20×10＝30×B

なので、Bは20/3回転です。

さらに、

30×20/3＝50×C

となり、Cは4回転です。

ただし、このような問題ではもっと簡単な見方があります。

AがBを動かし、BがCを動かしていますが、途中のBは回転を伝える役割をしているだけです。

したがって最初のAと最後のCだけを見れば、

20×10＝50×C

となり、

C＝4回転

と直接求められます。

途中に1つ歯車が入っていても、最初と最後の回転数の関係はそれぞれの歯数で決まるのです。

ただし、回転方向を考える場合はBの存在が重要です。

A→Bで1回反転、B→Cでもう1回反転するので、AとCは同じ向きに回ります。

同じ軸についた歯車がある場合の考え方

中学受験で難しくなりやすいのが「同軸」の問題です。

たとえば、

AとBがかみ合い、BとCが同じ軸についていて、さらにCとDがかみ合っている

という問題です。

ここで重要なのは、

同じ軸についている歯車は回転数が同じ

ということです。

たとえば、

A：歯数20
B：歯数40
C：歯数15
D：歯数30

で、BとCが同軸だとします。

Aが8回転すると、

20×8＝40×B

なので、Bは4回転。

BとCは同じ軸なので、

Cも4回転

です。

次にCとDを見ると、

15×4＝30×D

なので、

D＝2回転

です。

このタイプでは、全部を一気に式にしようとすると混乱します。

「かみ合うところ」と「同じ軸」を分けて、1段階ずつ考えることが大切です。

中学受験の歯車問題で間違えやすいポイント

歯数の比をそのまま回転数の比にしてしまう

最も多いミスの一つが、

歯数2：3
↓
回転数も2：3

としてしまうことです。

実際は逆で、

歯数2：3なら回転数3：2

です。

この間違いを減らすには、答えを出したあとに、

「歯が多いほうがたくさん回っていない？」

と確認させる方法があります。

歯数の多い歯車のほうが回転数まで多くなっていたら、基本的には不自然です。

式だけでなく、動きのイメージを使って検算すると効果的です。

間にある歯車まで回転数計算に使って混乱する

A―B―Cのような連結問題で、Bの歯数まで含めた複雑な比を作ってしまう子もいます。

しかし、単純に歯車が順番にかみ合っているだけなら、AとCの回転数の関係では途中のBの歯数は最終的に打ち消されます。

たとえば、

A20枚
B30枚
C40枚

なら、

A→Bの回転比＝30：20
B→Cの回転比＝40：30

なので、全体では、

30/20×40/30＝40/20

となります。

30が消えることが分かります。

小学生には分数式まで見せなくても、

「真ん中の歯車は回転を受け渡しているだけ」

と説明すると理解しやすいでしょう。

回転数と回転方向を一緒に考えてしまう

歯車問題では、

「何回転するか」

と、

「どちら向きに回るか」

を同時に考えると混乱しやすくなります。

そこで答案では、

①回転数を計算する
②最後に回転方向を確認する

という順番がおすすめです。

回転方向については、

直接かみ合う→反対
同じ軸→同じ

だけを確認します。

計算と方向を分離するだけでも、かなりミスが減ります。

家庭でできる歯車問題の教え方と勉強法

「接した歯の数は同じ」と考えさせる

歯車の公式が覚えられない子には、

「AとBの接しているところを通る歯の数は同じ」

と説明してみてください。

Aの歯が120個分通ったなら、かみ合っているB側でも120個分の歯が通っています。

だから、

Aの歯数×Aの回転数
＝Bの歯数×Bの回転数

となるのです。

この意味が分かれば、公式を忘れても自分で関係を作れます。

中学受験では、公式そのものより「なぜそうなるか」を理解している子のほうが、条件が変わった問題に対応しやすくなります。

逆比を公式ではなく具体的な数字で理解する

逆比が苦手なら、実際の数字で確認しましょう。

歯数10の歯車と20の歯車を考えます。

小さい歯車が2回転すると、

10×2＝20

個の歯が通ります。

大きい歯車は歯数20なので、1回転です。

つまり、

歯数は1：2
回転数は2：1

になります。

ここから、

「歯が2倍なら回転数は半分」

という感覚を身につけます。

この理解は、歯車だけでなく、速さと時間や仕事算など、逆比を使うほかの単元にもつながります。

基本→連結→同軸の順に練習する

歯車が苦手な子に、最初から複雑な入試問題を解かせる必要はありません。

おすすめは3段階です。

まず、

「2つの歯車」

だけの問題を練習します。

次に、

A―B―C

のような連結問題。

最後に、

同じ軸についた歯車が含まれる問題

へ進みます。

2つの歯車の関係が曖昧なまま複雑な問題へ進むと、どの数字を使えばよいか分からなくなります。

逆に、

「かみ合うなら歯数×回転数が同じ」
「同じ軸なら回転数が同じ」

という2つを確実にできれば、多くの応用問題を分解して考えられます。

まとめ｜歯車問題は「歯数×回転数が一定」で整理する

中学受験算数の歯車問題は、見た目ほど覚えることが多い単元ではありません。

最も重要なのは、

歯数×回転数が、かみ合う歯車どうしで等しくなる

という関係です。

たとえば歯数20と40の歯車なら、歯数の比は1：2なので、回転数の比は2：1になります。

つまり、

歯数と回転数は逆比

です。

さらに、

直接かみ合う歯車は回転方向が反対。

同じ軸についている歯車は回転数も方向も同じ。

この基本を押さえれば、複数の歯車が登場しても、一つずつ関係をたどって解けます。

家庭で教えるときは、

「公式を覚えて」

ではなく、

「歯が多い歯車と少ない歯車なら、どっちがたくさん回りそう？」

と問いかけてみてください。

そのうえで、

「かみ合ったところを通る歯の数は同じ」

と確認します。

歯車問題で大切なのは、複雑な図を一度に理解することではありません。

2つの歯車の関係に分解し、回転数と回転方向を別々に整理すること。

この習慣が身につけば、歯車が3個、4個と増えた入試問題でも落ち着いて対応できるようになります。