中学受験算数の空き瓶問題｜交換の解き方を解説

中学受験算数の「空き瓶問題」とは？

この記事では、中学受験算数の空き瓶問題について、基本の仕組みから何本飲めるかを求める問題、逆算問題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

空き瓶問題とは、

「ジュースを飲んだ後の空き瓶を○本集めると、新しいジュース1本と交換してもらえる」

というタイプの問題です。

「空き缶問題」などと呼ばれることもあり、中学受験算数では規則性や条件整理を使う定番問題として扱われています。

一見すると、

空き瓶の数÷交換に必要な本数

だけで終わりそうですが、そこに落とし穴があります。

空き瓶を集めると新しい1本と交換できる

たとえば、

空き瓶4本でジュース1本

と交換できるとします。

空き瓶が8本あれば、

8÷4＝2

なので、まず2本もらえます。

ここまでは簡単です。

ところが、もらった2本を飲むと、新しく空き瓶が2本できます。

この2本も次の交換に使える可能性があります。

もらった1本からも新しい空き瓶が出る

空き瓶問題で最も重要なのは、

交換してもらったジュースも、飲めば空き瓶になる

ことです。

たとえば空き瓶4本を渡します。

4本減る
↓
新しいジュースを1本もらう
↓
飲んだ後に空き瓶が1本できる

となります。

つまり交換1回で、

4本減って1本戻る

ので、空き瓶は実質、

4－1＝3本

減ったことになります。

この「実質何本減るか」を理解すると、応用問題が一気に解きやすくなります。

「購入特典」と「空き瓶交換」は別の問題

似た設定として、

「ジュースを4本買うと1本おまけ」

という問題があります。

こちらは18本買えば、

18÷4＝4あまり2

なので、おまけは4本。

基本的にはそこで終わります。

一方、

「空き瓶4本で1本交換」

なら、交換でもらったジュースからも空き瓶が出るので、さらに交換できる場合があります。

この2種類を混同しないことが大切です。両者は似ていますが計算結果が異なることが、空き缶問題の解説でも指摘されています。

空き瓶問題の基本的な解き方

まずは、最も典型的な問題を解いてみましょう。

まず交換を順番に書き出す

例題です。

「空き瓶4本を持っていくと、ジュース1本と交換してもらえます。ジュースを18本買ったとき、全部で何本飲めますか」

最初に18本飲むので、

空き瓶18本

ができます。

18本から4本ずつ交換すると、

18÷4＝4あまり2。

ジュースを4本もらい、空き瓶2本が残ります。

もらった4本を飲むと、新しい空き瓶4本ができます。

したがって今ある空き瓶は、

2＋4＝6本。

さらに、

6÷4＝1あまり2

なので、もう1本もらえます。

その1本を飲むと空き瓶が1本増えるため、

残りは2＋1＝3本。

もう4本には届かないので終了です。

飲めた本数は、

18＋4＋1＝23本

となります。これは空き缶問題の代表的な考え方としても紹介されている例です。

4本で1本交換なら空き瓶は実質3本減る

先ほどの問題を、別の見方で考えてみます。

交換1回では、

4本渡す
↓
1本飲む
↓
1本空き瓶として戻る

ので、

4－1＝3本

だけ空き瓶が減ります。

つまり最初の空き瓶18本から、交換するたびに3本ずつ減っていくと考えられます。

ただし最後には、交換に使えない空き瓶が1～3本残ります。

この考え方を使うと、何度も交換する大きな数字の問題でも整理しやすくなります。

一般に、

空き瓶n本で1本交換

なら、交換1回につき空き瓶は実質、

n－1本

減ります。

18本買ったとき何本飲めるかを解く

4本で1本交換の場合、18本の空き瓶から交換できる回数を考えます。

交換1回で実質3本減るため、

18本から、

15
12
9
6
3

と減ります。

交換は5回できます。

したがって、

購入18本＋交換5本＝23本

です。

この方法は数字が大きいときに便利ですが、最初から公式として暗記させる必要はありません。

まず実際に交換を繰り返し、

「なるほど、1回で3本減っている」

と気づかせることが大切です。

最後に残る空き瓶も必ず確認する

空き瓶問題では、

最後に何本余ったか

を確認する習慣をつけましょう。

先ほどの例では最後に3本残ります。

交換には4本必要なので、もう交換できません。

もし最後に4本以上残っていたら、

交換を途中でやめている

ことになります。

答えを出したら、

「まだ交換できない？」

と確認するだけでミスを防げます。

中学受験で差がつく空き瓶の応用問題

入試では「何本飲めるか」だけでなく、逆向きの問題も出ます。

全部で何本飲むには何本買えばよいか

たとえば、

「空き瓶3本で新しいラムネ1本と交換できます。全部で100本飲むには、最初に少なくとも何本買えばよいでしょう」

というタイプです。

実際、2023年のフェリス女学院中でも、「空き瓶3本で1本交換」という設定で、30本買った場合の総数と、100本飲むための購入本数を求める問題が出題されています。

3本で1本交換なら、

交換1回で実質減る空き瓶は、

3－1＝2本。

最初に67本買うと、

交換でもらえる本数は33本となり、

67＋33＝100本

まで飲めます。

逆算問題では、単純に、

100÷3

をすればよいわけではありません。

交換でもらった瓶が再び交換材料になることを忘れないようにします。

交換条件が途中で変わる問題

応用では、

最初は空き瓶5本で1本
途中から4本で1本

のように条件が変化することもあります。

この場合は、

条件が変わるところで区切る

のが基本です。

最初の条件で何本残るかを計算し、その残った空き瓶を次の条件へ引き継ぎます。

全部を一つの式にまとめようとすると、かえって間違えやすくなります。

複数のお店・交換方法を比べる問題

A店では、

4本買えば1本おまけ。

B店では、

空き瓶4本で1本交換。

この2つは同じように見えますが、仕組みは異なります。

B店ではもらった1本の空き瓶も再利用できます。

したがって、購入本数が増えるほど結果に差が出る場合があります。

入試では、この違いを理解しているかを問う問題も考えられます。

問題文では、

買った本数が条件なのか
飲み終わった空き瓶が条件なのか

を必ず確認しましょう。

足りない瓶を勝手に借りない

よくある間違いが、

「最後に3本残ったから、1本借りれば4本になって交換できる」

と考えることです。

問題文に「瓶を借りられる」と書いていなければ、勝手に借りてはいけません。

算数パズルでは借りる設定もありますが、中学入試では問題文の条件だけで判断します。

最後の余りは、そのまま残して終了するのが基本です。

空き瓶問題が苦手な子への家庭学習法

空き瓶問題は、実際に物を動かすと非常に理解しやすい単元です。

実物や○印を使って交換を再現する

ペットボトルを大量に用意する必要はありません。

紙に、

○○○○○○○○

と空き瓶の数だけ丸を書きます。

4本で1本交換なら、

○○○○

を囲んで消し、

新しい○を1個書きます。

これを繰り返すだけで、

交換したら1個戻る

ことが目で確認できます。

「何本減って何本戻る？」と聞く

家庭では、

「4本で1本だから4で割るよ」

と教えるより、

「4本渡したあと、何本戻ってくる？」

と聞いてみてください。

子どもが、

「1本」

と答えたら、

「じゃあ空き瓶は本当は何本減った？」

と続けます。

答えは3本です。

この問いかけが、空き瓶問題の本質を理解する近道です。

表を書いて交換回数を管理する

複雑な問題では、

交換前｜もらう本数｜残り｜飲んだ後

の表を作ります。

たとえば18本なら、

18｜4｜2｜6
6｜1｜2｜3

となります。

表を使えば、

余った空き瓶を次に足し忘れる

ミスを防げます。

基本→逆算の順に練習する

最初は、

「20本買ったら何本飲める？」

という順方向の問題。

それが安定したら、

「全部で30本飲むには何本買う？」

という逆算問題へ進みます。

さらに、

交換条件が変わる
複数のお店を比較する

と段階的に難しくしましょう。

最初から難問へ進む必要はありません。

まとめ｜空き瓶問題は「交換後に1本戻る」がポイント

中学受験算数の空き瓶問題では、

空き瓶を何本か渡す
↓
ジュース1本をもらう
↓
飲んだ後に新しい空き瓶1本ができる

という流れを理解することが最も重要です。

たとえば、

4本で1本交換

なら、

4本なくなるのではありません。

交換した1本を飲むと空き瓶が1本戻るので、

実質3本減る

と考えられます。

つまり、

n本で1本交換
→空き瓶は交換1回につき実質n－1本減る

という仕組みです。

ただし、最初からこの形を公式として暗記する必要はありません。

まずは、

交換前の空き瓶
↓
何本渡す
↓
何本もらう
↓
飲んで何本戻る

を実際に書き出してください。

そして答えを出したら、

「残った瓶でもう一度交換できない？」

と確認します。

家庭では、

「何で割るの？」

より、

「交換したら空き瓶は何本減る？」

と聞くほうが理解につながります。

空き瓶問題は計算力だけを試している問題ではありません。

一度使ったものが形を変えて次の計算に戻ってくる

という仕組みを追えるかがポイントです。

この考え方が身につけば、「何本飲めるか」だけでなく、「全部で○本飲むために何本買うか」という逆算問題にも対応しやすくなります。