中学受験算数「整数の性質」の解き方とコツ

中学受験算数の整数の性質とは？まず基本を整理

この記事では、中学受験算数の整数の性質について、約数・倍数・最大公約数・最小公倍数・余りの基本から、入試で出やすい応用問題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

「整数の性質」は、中学受験算数で重要な分野の一つです。

約数・倍数だけでなく、最大公約数、最小公倍数、素数、余り、周期など、さまざまな問題につながります。

一見すると暗記が多そうに見えますが、大切なのは言葉を覚えることより、数同士の関係を理解することです。

約数と倍数の違い

約数とは、ある整数を割り切れる整数のことです。

例えば12の約数は、

1、2、3、4、6、12

です。

一方、12の倍数は、

12、24、36、48、60……

と続きます。

約数は有限ですが、倍数はどこまでも続きます。

算数が苦手な子は、「約数は小さい数、倍数は大きい数」と曖昧に覚えることがあります。

正しくは、

約数＝その数を割り切れる数
倍数＝その数を何倍かした数

と理解しましょう。

最大公約数と最小公倍数

2つ以上の数に共通する約数のうち、最も大きいものが最大公約数です。

例えば12と18の共通する約数は、

1、2、3、6

なので、最大公約数は6です。

一方、共通する倍数のうち、最も小さいものが最小公倍数です。

12の倍数は、

12、24、36、48、60、72……

18の倍数は、

18、36、54、72……

なので、最小公倍数は36です。

「同じ大きさに切り分ける」問題では最大公約数、「次に一緒になる」問題では最小公倍数が使われることが多くあります。

素数と素因数分解の考え方

素数とは、1とその数自身の2つだけを約数にもつ整数です。

例えば、

2、3、5、7、11、13

などです。

なお、1は素数ではありません。

中学受験では、整数を素数の積に分けて考えると便利なことがあります。

例えば、

60＝2×2×3×5

です。

こうした分け方を使うと、約数の個数や最大公約数・最小公倍数を整理しやすくなります。

ただし、低学年では無理に用語を先に覚えさせず、まず「どの数で割り切れるか」を確認することが大切です。

余りの問題も整数の性質の重要分野

整数の性質では、余りを使った問題も頻出です。

例えば、

23÷5＝4余り3

です。

このとき、

23＝5×4＋3

と表せます。

余りは必ず割る数より小さくなります。

5で割った余りなら、

0、1、2、3、4

のいずれかです。

「5で割って余り7」ということはありません。

この基本は応用問題でも重要になります。

整数の性質の基本問題を例題で解説

ここからは、中学受験でよく出る典型問題を確認しましょう。

整数の性質は、問題文を読んだときに「どの考え方を使うか」を判断できることが重要です。

約数の個数を求める問題

例題1：24の約数をすべて求めなさい。

24を割り切れる数を小さい順に調べます。

1、2、3、4、6、8、12、24

の8個です。

答えは8個です。

小さい数から順番に探すと、抜けを防ぎやすくなります。

また、

1×24
2×12
3×8
4×6

のように、積が24になる組を作る方法もあります。

最大公約数を使う問題

例題2：たて24cm、横36cmの長方形の紙を、できるだけ大きな同じ正方形に切り分けます。正方形の1辺は何cmですか。

24cmも36cmも余りなく割れる長さを考えます。

24と36の最大公約数は12です。

したがって、

1辺12cm

の正方形に切り分けられます。

「できるだけ大きな同じ正方形」という表現は、最大公約数の代表的なサインです。

最小公倍数を使う問題

例題3：Aさんは6日ごと、Bさんは8日ごとに図書館へ行きます。今日2人が同時に行ったとき、次に同時に行くのは何日後ですか。

6と8の最小公倍数を求めます。

6の倍数は、

6、12、18、24……

8の倍数は、

8、16、24……

なので、最小公倍数は24です。

答えは24日後です。

「次に同時になる」「何日ごとに重なる」という問題では最小公倍数を考えます。

余りを利用する問題

例題4：100を7で割った余りを求めなさい。

7×14＝98

なので、

100－98＝2

です。

したがって、余りは2です。

単純な問題ですが、応用では「100個並べたとき最後は何番目か」といった周期問題につながります。

中学受験で差がつく整数の性質の応用

入試では、最大公約数や最小公倍数を直接聞くとは限りません。

文章の条件から使う考え方を見抜く必要があります。

同じ余りになる数を求める

例題5：ある数を6で割っても8で割っても2余ります。50より大きい最小の数を求めなさい。

余り2をいったん引きます。

すると、

その数－2

は6でも8でも割り切れます。

6と8の最小公倍数は24です。

24の倍数で50より少し小さいものは48です。

そこで、

48＋2＝50

ですが、「50より大きい」必要があるので次の24の倍数72を使います。

72＋2＝74

です。

答えは74です。

「同じ余り」という問題では、余りを引いて考える方法が有効です。

条件を満たす整数を探す

例題6：3で割ると1余り、5で割ると2余る50以下の整数を求めなさい。

このような問題では、一方の条件を満たす数を書き出す方法があります。

3で割って1余る数は、

1、4、7、10、13、16、19、22、25、28、31、34、37、40、43、46、49

です。

この中で5で割って2余る数を探すと、

7、22、37

です。

条件が複数ある問題では、無理に一度で式にしようとせず、書き出して整理する方法も立派な解法です。

周期や規則性と組み合わせる

整数の性質は規則性とも深くつながります。

例えば、

赤、青、黄、赤、青、黄……

と3色が繰り返されるとします。

100番目の色は、

100÷3＝33余り1

なので、周期の1番目である赤です。

この考え方では、割り算の「余り」が重要です。

余り0なら周期の最後、余り1なら1番目、余り2なら2番目というように整理します。

文章題で最大公約数・最小公倍数を見抜く

整数の性質で最も難しいのは、計算ではなく判断です。

例えば、

「48個の赤い玉と60個の青い玉を、どちらも余らないように同じ内容の袋へできるだけ多く分ける」

なら最大公約数を使います。

48と60の最大公約数は12なので、12袋作れます。

一方、

「4分ごとに鳴るベルと6分ごとに鳴るベルが次に同時に鳴る」

なら最小公倍数です。

4と6の最小公倍数は12なので、12分後です。

「分ける」のか、「重なる」のかを見分けましょう。

整数の性質が苦手な子への家庭での教え方

整数の性質を苦手にする子には、いきなり公式を覚えさせないことが大切です。

実際に数字を書き出すことで、意味を確認しましょう。

公式より実際に書き出して理解する

最大公約数を求めるとき、最初はそれぞれの約数を書いて構いません。

例えば18と24なら、

18の約数：1、2、3、6、9、18
24の約数：1、2、3、4、6、8、12、24

です。

共通する中で最大は6です。

慣れてから、より速い方法へ進めば十分です。

基本の意味が分からないまま計算手順だけ覚えると、文章題で使えなくなります。

「最大」と「最小」を問題文から判断する

最大公約数と最小公倍数を逆に使う子には、言葉だけで覚えさせるのではなく、場面と結びつけます。

最大公約数は、

「同じ大きさに分ける」
「できるだけ大きく切る」
「できるだけ多く同じグループにする」

といった場面です。

最小公倍数は、

「次に同時になる」
「最初に重なる」
「何日後に一緒になる」

という場面です。

問題文に線を引いて判断する習慣をつけましょう。

余りは「割る数より小さい」を徹底する

余りの問題では、

余り＜割る数

を必ず確認します。

例えば7で割るなら、余りは0～6です。

子どもが、

「7で割って余り8」

のような答えを書いたら、すぐに正解を教えるのではなく、

「8はもう7を1回取れないかな？」

と聞いてみましょう。

8＝7＋1なので、余りは1に直せます。

間違えた問題を型ごとに整理する

整数の性質では、間違えた問題を、

約数
最大公約数
最小公倍数
余り
周期

のように分類すると弱点が見えます。

例えば5問間違えて、そのうち4問が余りの問題なら、整数全体が苦手なのではなく、余りに課題がある可能性があります。

家庭では問題集を増やすより、苦手な型の基本問題を3～5問ほど解き直しましょう。

翌日にも類題を1問解き、自力で考えられるか確認します。

まとめ｜整数の性質は数の関係を見抜くことが大切

中学受験算数の整数の性質では、約数・倍数・最大公約数・最小公倍数・素数・余りなどを学びます。

大切なのは、言葉や計算方法だけを暗記することではありません。

「同じ大きさに分けるなら最大公約数」

「次に同時になるなら最小公倍数」

「同じ余りなら余りを引いて考える」

というように、問題の場面と考え方を結びつけることが重要です。

また、余りは規則性や周期算にもつながるため、整数の性質を理解すると他の単元も解きやすくなります。

家庭では、最初から速い解法を求めず、約数や倍数を実際に書き出して数の関係を確認しましょう。

整数の性質を得意にするコツは、公式を増やすことではなく、「この問題では数同士にどんな関係があるのか」を見抜く習慣を身につけることです。