中学受験算数の牛問題｜ニュートン算を解説

中学受験算数の「牛問題」は主に2種類ある

この記事では、中学受験算数で出てくる「牛」の問題について、代表的なニュートン算の考え方から、ロープにつながれた牛の図形問題まで順を追って解説します。

中学受験算数で牛が登場する問題は、内容が同じとは限りません。

代表的なのは、

牧場の草を牛が食べる問題
ロープにつながれた牛が動く問題

の2種類です。

前者はニュートン算、後者は平面図形です。

牧草を食べる牛はニュートン算

「牧場に一定量の草があり、毎日一定量ずつ草が生える。牛○頭なら△日で食べ尽くす」

という問題はニュートン算です。

実際の中学受験向け教材でも、牛が牧草を食べる設定はニュートン算の典型例として扱われています。

普通の仕事算と違うのは、

牛が草を食べる
同時に草も生える

という2つの変化が同時に起きる点です。

ロープにつながれた牛は図形問題

一方、

「牛が長さ8mのロープにつながれている」
「柵の外で動ける範囲の面積を求める」

という問題なら平面図形です。

実際の中学受験教材には、柵の角を回るたびに使えるロープが短くなり、半円や4分の1円を組み合わせる問題があります。

このタイプでは、

円
扇形
円周率
ロープの残りの長さ

を使います。

まず問題文から単元を見分ける

牛という言葉だけで単元を決めてはいけません。

問題文に、

草が生える
○日で食べ尽くす
牛○頭

とあればニュートン算。

一方、

ロープ
柵
動ける範囲
面積

とあれば図形問題です。

家庭ではまず、

「牛が何をしている問題？」

と聞いてみてください。

単元を見抜く練習にもなります。

牛と牧草のニュートン算を基本から理解する

ニュートン算が難しく感じる最大の理由は、

草が一定量ではない

ことです。

牛が食べている間にも新しい草が生えています。

草は減るだけでなく毎日増えている

たとえば最初に100の草があったとします。

牛が1日に10食べても、毎日3ずつ草が生えるなら、

実際に減る量は、

10－3＝7

です。

つまり、

食べる量－新しく生える量＝1日に減る草

と考えます。

この「増えるものと減らすものが同時にある」のがニュートン算です。

牛1頭が1日に食べる量を「1」とする

問題を整理するときは、

牛1頭が1日に食べる草の量＝1

と置くと分かりやすくなります。

牛8頭なら、1日に食べる量は8。

牛10頭なら10です。

ここから、

牛が食べる量－1日に生える草

を求めていきます。

複雑そうに見えても、牛1頭を基準にすると数字が整理できます。

2つの条件の差から草の増える量を求める

ニュートン算では、

8頭なら24日
10頭なら16日

のように、2つの条件が与えられることが多いです。

それぞれで、

最初にあった草の量

は同じです。

この共通点を利用し、

牛8頭の場合
牛10頭の場合

を比較します。

2つの式の差を取ると、「毎日生える草」の量を求めることができます。

最初にあった草の量を逆算する

1日に生える草が分かったら、最後に最初の草の量を求めます。

ニュートン算は基本的に、

1日に生える草
↓
実際に1日で減る草
↓
最初の草

の順で考えると安定します。

いきなり全体量を求めようとすると混乱しやすいため、順番を固定しましょう。

中学受験で出る牛のニュートン算を例題で解説

実際の数字で見てみましょう。

8頭で24日・10頭で16日の基本問題

「ある牧場では、8頭の牛なら24日、10頭なら16日で牧草を食べ尽くします。草は毎日一定量生えます」

という問題です。

牛1頭が1日に食べる量を1とします。

最初の草を□、1日に生える草を△とすると、

8頭の場合、

□＝（8－△）×24

10頭の場合、

□＝（10－△）×16

です。

同じ□なので、

（8－△）×24＝（10－△）×16

となります。

計算すると、

192－24△＝160－16△

32＝8△

△＝4

です。

つまり、1日に生える草は牛4頭分です。

これは実際に公開されている中学受験向けニュートン算の典型例とも一致します。

最初の草は、

（8－4）×24
＝4×24
＝96

なので、牛1頭が1日で食べる量の96倍です。

牛の頭数を求める応用問題

最初の草が96、毎日4ずつ生える牧場を12日で食べ尽くしたいとします。

牛を□頭とすると、

（□－4）×12＝96

です。

□－4＝8

なので、

□＝12頭

です。

ここでも、

牛の食べる量－草の生える量

が実際の減少量です。

途中で牛が増減する問題

難しくなると、

最初は70頭
5週間後に牛を増やす

といった問題も出ます。

実際の中学受験教材でも、途中で牛の頭数を変えるニュートン算が扱われています。

この場合は、

最初の5週間
その後

を分けます。

最初の期間で、

どれだけ草が減ったか

を計算し、その時点の残りを新しい「最初の草」と考えます。

一気に式を作らず、

前半
↓
残量
↓
後半

と分けるのがコツです。

仕事算との違いを理解する

仕事算では、基本的に仕事全体の量は増えません。

しかしニュートン算では、

処理している間にも仕事が増える

と考えます。

牛と草なら、

牛＝草を減らす
草の成長＝草を増やす

です。

池の水をポンプでくみ出す問題なら、

ポンプ＝水を減らす
流入＝水を増やす

となります。

牛の問題だけ覚えず、

「増える量と減らす量が同時にある」

と理解しておけば、別の設定にも対応できます。

ロープにつながれた牛の図形問題の解き方

「牛」の検索では、ニュートン算だけでなくロープ問題にも注意が必要です。

牛が動ける範囲は円や扇形になる

牛が1点に長さ6mのロープでつながれていて、周囲に障害物がなければ、動ける範囲は半径6mの円です。

面積は、

6×6×3.14

で求められます。

壁があれば半円や4分の1円になります。

つまり、

ロープの長さ＝円の半径

と考えるのが基本です。

角を回るとロープの残りの長さが変わる

柵の角を回り込める場合は少し難しくなります。

たとえば8mのロープがあり、角まで2m使ったなら、

8－2＝6m

が残ります。

次の場所では、

半径6mの扇形

を考えます。

実際の教材でも、角を曲がるたびにロープの残りを計算し、半円や4分の1円を組み合わせる方法が使われています。

重なりと入れない部分を確認する

円や扇形を見つけても、そのまま全部足すとは限りません。

柵の内側へ牛が入れない
別の扇形と重なる

場合があるからです。

図に、

半径
中心
牛が通れない辺

を書き込み、実際に動ける部分だけを数えましょう。

家庭では図に半径を書き込む

図形の牛問題では、

8m
6m
1m

など、ロープの残りを図へ直接書き込みます。

家庭では、

「ここまで来るのに何m使った？」
「残りのロープは何m？」
「中心はどこになる？」

と聞くと理解しやすくなります。

円の公式から教えるより、「牛がどこまで歩けるか」を想像させるほうが効果的です。

まとめ｜牛問題は「何が変化しているか」を見抜こう

中学受験算数で「牛」が出てきたときは、まず何の単元なのかを見極めましょう。

代表的なのは、

牧草を食べる牛＝ニュートン算
ロープにつながれた牛＝平面図形

の2種類です。

ニュートン算では、

牛が草を食べる
同時に草が生える

という2つの変化を考えます。

基本は、

牛1頭が1日に食べる量を1とする
↓
2つの条件を比較する
↓
1日に生える草を求める
↓
最初の草の量を求める

という流れです。

特に、

8頭で24日
10頭で16日

といった2条件があれば、同じ牧場の「最初の草の量」が共通していることに注目します。

一方、ロープにつながれた牛なら、

ロープの長さ＝半径

として円や扇形を考えます。

角を回れば、そこまで使ったロープを引き、

残った長さ

を新しい半径として考えます。

家庭で教えるときは、いきなり、

「これはニュートン算」
「これは扇形」

と答えを教えるのではなく、

「牛は何をしている？」
「増えているものはある？」
「ロープはどこまで届く？」

と聞いてみてください。

中学受験算数では、登場するものが牛でも、問われている本質は別にあります。

ニュートン算なら、

増える量と減る量。

図形なら、

半径と動ける範囲。

「牛」という言葉に惑わされず、何が変化し、何が一定なのかを見抜くことが、正しい解法へたどり着く一番の近道です。