立体図形の切り口｜中学受験の断面問題を解説

中学受験の立体図形「切り口」とは？

この記事では、中学受験の立体図形でよく出る「切り口」について、断面の見つけ方・基本ルール・家庭での練習方法まで順を追って解説します。

中学受験算数では、立方体や直方体を1枚の平面で切り、

「切り口は何角形になりますか」
「切り口の面積を求めなさい」
「切り取られた立体の体積を求めなさい」

といった問題が出ます。

このときできる断面を「切り口」と考えます。

立体を平面で切ったときにできる図形

例えば食パンを包丁で斜めに切ると、表面とは違う形の断面が現れます。

立方体でも同じです。

平面をどの位置・角度で通すかによって、

三角形
四角形
五角形
六角形

など、切り口の形が変わります。

ここで大切なのは、立体の表面に描かれている線だけではなく、「立体の中を1枚の平面が通っている」と考えることです。

3点を通るから三角形とは限らない

中学受験でよくある勘違いが、

「3点を通る平面で切る＝切り口は三角形」

という考えです。

実際には、与えられた3点は「切断する平面を決めるための点」です。

その平面が立体のほかの辺とも交われば、切り口の頂点は4個、5個、6個と増えます。

つまり、

与えられた点の数
＝切り口の頂点の数

ではありません。

切断面が立体のどの辺を通るかを最後まで追う必要があります。

切り口は平面図形として考える

切り口が完成したあとは、立体の問題というより平面図形の問題になります。

例えば切り口が台形なら、

上底
下底
高さ

を使って面積を求めます。

相似な三角形ができれば、

相似比2：3
→面積比4：9

のように比を使います。

立体の切り口問題では、

最初＝立体を見る力
途中＝切断線を見つける力
最後＝平面図形や比の力

が必要です。

立体図形の切り口を見つける4つの基本

切り口問題は難しく見えますが、まず4つの基本を順番に使えば整理できます。

同じ面にある2点を直線で結ぶ

最初に確認するのは、

「与えられた点のうち、同じ1つの面にある2点はどれか」

です。

例えば立方体の上面にPとQがあるなら、

PとQを直線で結びます。

同じ平面上にある2点なので、切り口の一部が確定します。

逆に、立方体の表面上で同じ1面にない2点を、見取り図上で無理に直線で結んではいけません。

家庭では最初に、

「この2点は同じ面にある？」

と聞くだけでも、子どもが自分で1本目を見つけやすくなります。

切り口の線を隣の面へつなげる

1本目の切断線が引けたら、その線の端から隣の面へ進みます。

例えば上面のP－Qを結んだあと、Qが右側面上にあるなら、右側面ではQから次の切断点へ線が続きます。

切り口は1枚の平面なので、

上面で1本
右側面で1本
前面で1本

というように途切れずつながっていきます。

「次はどの面に入るか」を一面ずつ追うのがコツです。

平行な面では切り口も平行になることがある

立方体や直方体では、向かい合う面どうしが平行です。

1枚の平面で2つの平行な面を切ると、それぞれの面にできる切断線は平行になります。

例えば前面に切断線があり、同じ切断面が背面まで達している場合、

前面の切断線
背面の切断線

が平行になることがあります。

この性質を使うと、見えない奥側の線を見つけやすくなります。

ただし、「向かい合う面なら必ず何でも平行」と覚えるのではなく、同じ切断平面による線であることを確認してください。

必要なら辺や線を延長して交点を作る

発展問題では、今ある点だけでは切り口の続きが見つからないことがあります。

その場合は、

立方体の辺
すでに引いた切断線

を外側へ延長し、交点を作って考えます。

ただし、これは最初から使う技ではありません。

基本問題では、

同じ面を結ぶ
隣の面へ進む
平行を使う

で解けることが多いため、まずこの3つを定着させましょう。

切り口の形を例題で見分けよう

切り口は「何角形になるか」を考えるだけでも、よい練習になります。

三角形になる切り口

立方体の1つの頂点から出る3本の辺上にそれぞれ点を取り、その3点を通る平面で角を切り落とす場合、切り口は三角形になります。

切断面が交わる辺が3本だからです。

例えば各辺の中点を通るなら、切り口は3つの中点を頂点とする三角形です。

ここでは、

切断面と交わる辺の本数
＝切り口の頂点の数

と考えると分かりやすくなります。

四角形になる切り口

切断面が立方体の4本の辺と交われば、切り口は四角形です。

例えば、上面で1本、右側面で1本、下面で1本、左側面で1本と切断線がつながれば、4つの交点ができます。

このとき、

長方形
平行四辺形
台形

など、条件によって形が変わります。

単に「四角形」と判断して終わらず、

どの辺が平行か
長さは同じか

まで確認すると応用問題につながります。

五角形・六角形になる切り口

切断面が5本の辺と交われば五角形、6本と交われば六角形になります。

立方体は6面あるため、斜めに大きく横切ると多くの面を通ることがあります。

例えば「与えられた3点を通る」という問題でも、切断面がさらに別の辺と交われば五角形や六角形になる可能性があります。

このため、切り口の形を判断するときは、

与えられた点を数える

のではなく、

最終的に切断面と交わる辺を数える

ことが重要です。

切り口の面積まで求める問題

中学受験では、切り口を描いたあと、その面積を求める問題もあります。

例えば切り口が長方形で、

たて3cm
横4cm

なら、

3×4＝12㎠

です。

一方、台形なら、

（上底＋下底）×高さ÷2

を使います。

さらに斜めの長さが必要なら、相似や面積比を使って求めることもあります。

「切り口を描けた＝終了」ではなく、その後に平面図形の知識が必要になることを覚えておきましょう。

立体図形の切り口が苦手な子の家庭学習法

切り口問題は、答えを何度も見ても上達しにくい分野です。

自分で立体を追う練習を入れることが大切です。

最初は立方体を自分で描けるようにする

まずはフリーハンドで立方体を描けるようにします。

正確な製図でなくて構いません。

手前の正方形を描く
少しずらして奥の正方形を描く
対応する頂点を結ぶ

という順で十分です。

自分で立方体を描けると、

どの辺が奥にあるか
どの面がつながっているか

を理解しやすくなります。

切り口を予想してから答えを見る

問題を見たら、すぐ解答へ進まず、

「三角形かな」
「四角形になりそう」

と予想します。

その後で切断線を引きます。

予想が外れても問題ありません。

「3点しかないから三角形だと思ったけれど、もう1本の辺とも交わった」

と気づくことが学習になります。

模型や身近な箱で立体を確認する

紙だけで分からない場合は、

立方体の消しゴム
積み木
小さな箱

などを使います。

辺の上にシールで3点を付け、

「この3点を通る平面で切るなら、どの面を通る？」

と考えます。

実際に切らなくても、輪ゴムや糸を使って切り口の位置を示すだけで、立体と紙の図を結びつけやすくなります。

翌日に白紙から切断線を再現する

その日に解説を見て理解できても、翌日にもう一度解いてみましょう。

何も見ずに、

同じ面の点を探す
1本目を引く
隣の面へ進む
切り口を完成させる

ことができれば、考え方が定着してきています。

反対に、最初の1本で止まるなら、まだ答えの形を覚えていただけかもしれません。

まとめ｜切り口は「同じ面の2点を結ぶ」ことから始めよう

中学受験の立体図形で出る切り口問題は、空間を頭の中だけで想像しようとすると難しく感じます。

まずは、

同じ面にある2点を結ぶ
線を隣の面へつなぐ
平行な面の性質を使う
必要なら延長して交点を作る

という順番で考えましょう。

また、

3点を通るから三角形

とは限りません。

切断面が立体の何本の辺と交わるかによって、三角形・四角形・五角形・六角形などに変わります。

立体図形の切り口で最も大切なのは、完成形を最初から頭に浮かべることではなく、「同じ面にある2点を1本ずつ結ぶ」作業を積み重ねることです。

家庭では、最初から難しい補助線を教えるより、

「同じ面にあるのはどの2点？」
「この線は次にどの面へ進む？」

と問いかけてください。

模型で立体を確認し、最後は紙に戻って自分で切り口を描く。

この繰り返しによって、切り口問題は少しずつ「見えない問題」から「手順で解ける問題」へ変わっていきます。