中学受験の展開図問題｜頻出パターンと解き方

中学受験の展開図問題でよく出る4パターン

この記事では、中学受験でよく出る展開図問題の種類と解き方を例題で整理し、空間図形が苦手な子でも取り組みやすい家庭学習法まで解説します。

中学受験の展開図問題は、単に立方体の形を覚えれば終わりではありません。

入試では、平面に広げられた図を見て、組み立てた後の位置関係を正確に考える力が問われます。

まずは代表的な出題パターンを把握しましょう。

立体になる展開図を選ぶ問題

基本となるのが、

「次のうち立方体になる展開図はどれですか」

という問題です。

立方体は正方形6枚でできていますが、正方形が6枚つながっていれば必ず立方体になるわけではありません。

折ったときに、

2枚が同じ場所へ重なる
上面になる面がない

といった並びは不正解です。

ポイントは、1枚を底面と決め、残りが前・後ろ・右・左・上へ1枚ずつ配置できるかを見ることです。

向かい合う面を求める問題

次に多いのが、

「面Aと向かい合う面はどれですか」

という問題です。

ある面と直接辺を共有している面は、その面と向かい合いません。

例えば面Aの上下左右に4枚がつながっていれば、その4枚は立方体にしたときAの側面になります。

残った1枚がAの反対側になる、と考えられる展開図があります。

「隣接する面を除外する」という方法を覚えておくと便利です。

重なる辺・頂点を求める問題

難度が上がると、

「辺アと重なる辺はどれか」
「点Pと同じ頂点になる点はどれか」

と問われます。

展開図上では離れている辺や点が、立体にすると同じ場所へ重なるため、面だけを見る問題より複雑です。

ここでは、

面
辺
頂点

を別々に考えることが重要です。

立方体は6面・12辺・8頂点です。

まず面の位置を決め、それから辺や頂点を追いましょう。

表面積や長さにつなげる問題

展開図は、表面積の問題にもつながります。

例えば円柱の展開図なら、

円が2枚
長方形が1枚

になります。

側面の長方形の横の長さは、底面の円周です。

そのため展開図が理解できれば、

「なぜ円柱の側面積が円周×高さなのか」

も納得しやすくなります。

展開図は単なる空間認識問題ではなく、面積計算の理解にも役立つ単元です。

中学受験の展開図問題を例題で解こう

ここでは代表的な問題を、考え方が分かる形で確認します。

立方体になるかを見分ける例題

例題1：正方形6枚のうち4枚が横一列につながり、2枚が適切な位置についています。この展開図が立方体になるかを考えなさい。

まず中央付近の1枚を底面とします。

その左右にある面を起こすと、立方体の側面になります。

さらに残りの面を順に90度ずつ折り、

上
前
後ろ
右
左

の位置が重ならずに埋まるか確認します。

もし2枚が同じ「上」の位置へ来てしまうなら、その展開図は立方体にはなりません。

「6枚あるから正解」と考えないことが大切です。

向かい合う面を探す例題

例題2：面Aの上下左右にB・C・D・Eがつながり、Bのさらに外側にFがあります。Aの向かい側になる面を求めなさい。

Aに直接つながるB・C・D・Eは、折るとAの周囲に立ち上がります。

そのためAの向かい側にはなれません。

Bの外側にあるFを折ると、Aの上へかぶさる位置に来ます。

したがって、AとFが向かい合います。

この問題では、

「Aと辺を共有している面は反対面ではない」

という考え方が使えます。

重なる辺を探す例題

例題3：展開図の面Aと面Bが隣り合い、面Bの外側に面Cがあります。面Aを底にして折ったとき、Cの外側の辺がどこに来るか考えなさい。

まずAを固定します。

次にBを90度起こします。

さらにCをBから90度折ります。

このように、

Aを固定
↓
Bを折る
↓
Cを折る

と1枚ずつ追うと、Cの辺が立方体のどこへ移動するか分かります。

辺の問題で最も避けたいのは、6面全部を同時に頭の中で動かそうとすることです。

円柱の展開図と表面積の例題

例題4：半径3cm、高さ8cmの円柱の表面積を求めなさい。円周率は3.14とします。

展開図にすると、

半径3cmの円が2枚
長方形が1枚

です。

円2枚の面積は、

3×3×3.14×2
＝56.52㎠

です。

側面の長方形の横は円周なので、

3×2×3.14＝18.84cm

側面積は、

18.84×8＝150.72㎠

です。

したがって表面積は、

56.52＋150.72
＝207.24㎠

となります。

展開図を思い浮かべると、公式をただ暗記せずに済みます。

展開図問題を正確に解く4つのコツ

展開図が得意な子は、必ずしも頭の中で立体を自在に回しているわけではありません。

解き方を手順化しています。

基準となる面を1枚固定する

最初に、

「この面を底にする」

と決めます。

例えばAを底にしたら、途中でAを右面や前面に変えません。

基準を固定すると、

Bは前
Cは右
Dは左

という位置関係を整理できます。

迷ったら毎回、最初の基準面へ戻りましょう。

一気に折らず90度ずつ考える

立方体の隣り合う面は直角です。

そのため展開図も、

1枚目を90度起こす
↓
2枚目を90度起こす

と考えます。

完成した立方体を一気に想像する必要はありません。

展開図問題が苦手な子ほど、動きを細かく分けたほうが正確です。

面・辺・頂点に記号を書き込む

難しい問題では、

面A
面B
辺ア
点P

などの記号をそのまま図へ書き込みます。

特に頂点問題では、

「この点には最終的にどの3面が集まるか」

を確認します。

頭の中だけで管理するより、紙へ情報を出したほうが圧倒的にミスを減らせます。

分からないときは立体から逆向きに考える

展開図から立体を考えるのが難しい場合は、

「立方体の上・下・前・後ろ・右・左を開いたらどうなるか」

と逆向きに考える方法もあります。

例えば実物の箱を見ながら、

上面を残して右面を倒す
前面を倒す

と考えると、展開図がどのようにできるか理解できます。

「折る」だけでなく「開く」方向でも考えてみましょう。

展開図問題が苦手な子の家庭学習法

展開図は、家庭でも特別な教材なしで練習できます。

紙で実際に展開図を作る

最もおすすめなのは、実際に紙で作ることです。

コピー用紙に正方形6枚を描き、

切る
折る
立方体を作る

ところまで行います。

その際、

「この面の反対側はどこ？」
「この2つの辺は重なる？」

と確認します。

5種類ほど作るだけでも、展開図と立体の対応が見えやすくなります。

面→辺→頂点の順で練習する

展開図が苦手な子へ、いきなり頂点の難問を出さないようにします。

おすすめは、

第1段階：立方体になるか
第2段階：向かい合う面
第3段階：重なる辺
第4段階：同じ頂点

です。

特に面の関係が安定していない状態では、辺や頂点も安定しません。

土台から順に積み上げましょう。

翌日は図だけ見て再挑戦する

その日の解き直しだけでは、答えを覚えている可能性があります。

翌日、同じ展開図を見せて、

「Aの反対は？」
「この辺はどこと重なる？」

ともう一度確認します。

答えだけではなく、

「Aを底にすると、Bが前に立つから……」

と理由まで言えれば理解が進んでいます。

難問より典型問題を繰り返す

展開図が苦手だと、難しい問題をたくさん解かせたくなるかもしれません。

しかし最初は、

向かい面
重なる辺
頂点

という典型問題を繰り返すほうが効果的です。

例えば10問中8問程度を自力で正解できるようになってから、複雑な切断やサイコロ問題へ進みます。

「難しい問題を経験した数」より、「基本の判断を迷わずできるか」を優先しましょう。

まとめ｜展開図問題は「一面ずつ折る」と解きやすい

中学受験の展開図問題では、

立方体になるか
向かい合う面はどれか
重なる辺はどれか
同じ頂点になる点はどれか
表面積をどう求めるか

などが問われます。

解くときは、

基準面を1枚決める
↓
隣の面を90度ずつ折る
↓
面の位置を決める
↓
辺・頂点を追う

という順番が基本です。

展開図が苦手な子に必要なのは、「もっと頭の中で想像すること」ではありません。

紙を折る、記号を書く、一面ずつ追うなど、空間の情報を目に見える形へ変えることです。

家庭では、

紙で実物を作る
↓
向かい面を答える
↓
辺を追う
↓
頂点を確認する
↓
翌日にもう一度解く

という流れがおすすめです。

中学受験の展開図問題は、空間センスだけで正解する問題ではありません。「基準面を固定し、一面ずつ折る」という手順を身につければ、苦手な子でも安定して得点できる分野になります。