中学受験算数の体積を攻略｜公式と応用の解き方

中学受験算数の体積でまず押さえたい基本

この記事では、そんな悩みを持つ保護者に向けて、中学受験算数の体積について、基本公式から複雑な立体、水量変化、家庭での教え方まで順を追って分かりやすく解説します。

体積は、中学受験算数の立体図形で非常に重要なテーマです。

直方体の「たて×横×高さ」だけなら解けても、入試ではそのままの形で出題されるとは限りません。

段になった立体、穴の開いた立体、水を入れた容器、物体を沈める問題など、少しずつ条件が加わります。

そこで大切になるのが、公式をたくさん覚えることではなく、

「底面積×高さ」という共通した見方を身につけること

です。

この考え方が定着すると、見慣れない体積問題でも整理しやすくなります。

体積は「底面積×高さ」で考える

体積の基本は、

体積＝底面積×高さ

です。

直方体なら、

たて×横×高さ

と覚えている子が多いでしょう。

しかし中学受験では、「たて×横×高さ」という形だけで覚えるより、「底面積×高さ」で理解したほうが応用が利きます。

たとえば、底面が三角形の三角柱なら、

三角形の面積×柱の高さ

で体積を求めます。

底面が台形でも同じです。

まず台形の面積を求め、それに高さを掛ければ体積になります。

つまり、立体の形が変わっても、

「同じ形の面がずっと続いている」

と考えられる柱体なら、

底面積×高さ

で統一できます。

家庭で教えるときは、「どれが高さ？」と聞く前に、「どの面がずっと同じ形で続いている？」と聞くと理解しやすくなります。

直方体・立方体の公式を意味から理解する

たとえば、

たて4cm、横3cm、高さ5cm

の直方体を考えます。

底面積は、

4×3＝12cm²

です。

高さが5cmなので、この12cm²の層が5段積み重なっていると考えられます。

したがって、

12×5＝60cm³

となります。

このように考えれば、「なぜ3つの長さを掛けるのか」が分かります。

公式だけを暗記している子は、図が斜めになったり、底面が三角形になったりした途端に迷いやすくなります。

一方、体積を「面積の層が積み重なったもの」と理解している子は、形が変わっても対応しやすくなります。

cm³・mL・Lの単位換算を整理する

体積では単位ミスも頻出です。

特に押さえておきたいのが、

1cm³＝1mL
1000cm³＝1000mL＝1L

という関係です。

たとえば、底面積200cm²の容器に水を5cm入れると、

200×5＝1000cm³

なので、水の量は1Lです。

「cm³からLに直すとき、100で割るのか1000で割るのか分からない」という子も少なくありません。

そこで、

1辺10cmの立方体をイメージする

方法がおすすめです。

10×10×10＝1000cm³

なので、これが1Lです。

数字だけで暗記するより、立方体の大きさと結びつけて覚えると忘れにくくなります。

中学受験でよく出る体積問題の解き方

複雑な立体は「分ける・足す・引く」

中学受験では、直方体が何個か組み合わさった立体がよく出ます。

こうした問題を見て、

「こんな形の公式は習っていない」

と止まってしまう子がいます。

しかし、複雑な立体専用の公式があるわけではありません。

基本は、

簡単な立体に分ける

ことです。

たとえば階段状の立体なら、2つや3つの直方体に分け、それぞれの体積を求めて足します。

逆に、大きな直方体から一部分が欠けている形なら、

全体の体積－欠けた部分の体積

と考えたほうが簡単な場合があります。

重要なのは、最初から計算するのではなく、

「足したほうが楽か、引いたほうが楽か」

を判断することです。

くり抜かれた立体は全体から引く

よくあるのが、大きな立方体や直方体に穴が開いている問題です。

たとえば、

10cm×8cm×6cmの直方体から、2cm×3cm×6cmの直方体をくり抜いた

とします。

全体は、

10×8×6＝480cm³

くり抜いた部分は、

2×3×6＝36cm³

です。

したがって、

480－36＝444cm³

となります。

このタイプでは、「残っている部分を細かく分けて足す」こともできますが、計算が増えます。

もとの形が分かりやすい場合は、全体から不要部分を引く

という発想を身につけると、速く正確に解けるようになります。

柱体は底面積を先に求める

三角柱や台形柱などでは、いきなりすべての長さを掛けないよう注意が必要です。

まず底面積を求めます。

たとえば、底面が、

底辺6cm、高さ4cmの三角形

で、柱の高さが10cmなら、

底面積は、

6×4÷2＝12cm²

体積は、

12×10＝120cm³

です。

ここで大切なのは、三角形の「高さ」と立体の「高さ」を混同しないことです。

図ではどちらも高さのように見えるため、算数が苦手な子ほど混乱します。

家庭では、

「最初に底面積を作るための高さ」
「その面をどれだけ伸ばしたかを表す高さ」

と役割を分けて説明すると分かりやすくなります。

比を使うと計算を減らせる問題もある

中学受験では、体積と比が組み合わされることもあります。

たとえば、同じ底面積を持つ2つの柱体なら、体積の比は高さの比と同じです。

底面積が同じで、高さが2cmと5cmなら、

体積比も2：5

です。

また、高さが同じなら、

体積比＝底面積比

になります。

毎回実際の体積を全部計算するより、比で処理したほうが速い問題もあります。

ただし、比を使う前に、

「底面積が同じのか」
「高さが同じのか」

を必ず確認してください。

体積の応用で差がつく水量変化の考え方

水の体積は「底面積×水の深さ」

水量問題でも基本は変わりません。

水の体積は、

容器の底面積×水の深さ

で求めます。

たとえば底面積が120cm²の直方体の容器に、水が8cmの深さまで入っているなら、

120×8＝960cm³

です。

ここで重要なのは、容器全体の高さではなく、

実際に水が入っている高さ

を使うことです。

水量問題で間違える子の中には、容器の高さをそのまま掛けてしまうケースがあります。

問題文を読んだら、まず「水面はどこか」を確認しましょう。

物体を沈めたときは増えた体積を見る

容器に石や直方体を沈める問題も頻出です。

たとえば底面積100cm²の容器で、水面が3cm上がったとします。

増えた水面部分の体積は、

100×3＝300cm³

です。

完全に水中へ沈んでいる物体なら、この300cm³が物体の体積と等しくなります。

なぜなら、物体が入った分だけ水が押しのけられるからです。

子どもには、

「物体が場所を取った分だけ、水が上に逃げる」

と説明するとイメージしやすくなります。

ただし、物体の一部だけが水中に入っている場合は、物体全体の体積とは一致しません。

水中に入っている部分の体積だけ

を考える必要があります。

途中で底面積が変わる容器は区切って考える

難度が上がると、途中で幅が変わる容器が登場します。

たとえば、下半分が細く、上半分が広い容器です。

この場合、最初から最後まで同じ底面積を使うことはできません。

水面が細い部分にある間は、

細い部分の底面積×高さ

で考えます。

水面が広い部分まで上がったら、

下の部分の体積＋上の部分の体積

と分けます。

このタイプでは、

形が変わる高さを境目として区切る

ことが重要です。

算数が苦手な子には、水が下から少しずつたまっていく様子を想像させると理解しやすくなります。

体積が苦手な子に家庭で教えるコツ

公式暗記より「どの面を底面と見るか」を練習する

体積が苦手な子に公式を追加で暗記させても、改善しないことがあります。

原因は公式ではなく、図の見方にある場合が多いからです。

たとえば三角柱を見せたとき、

「底面はどこ？」

と聞いてみてください。

上下の面だけを底面だと思い込んでいる子もいます。

柱体では、同じ形が平行に続いている2つの面を底面として考えられます。

立体を回転させても体積は変わりません。

その感覚を身につけることが大切です。

見えない部分を想像する力を補う

立体図形が苦手な子は、見えていない辺や面を頭の中で想像することが難しい場合があります。

その場合、紙の図だけで何度も説明するより、身近な箱を使ったほうが理解しやすくなります。

ティッシュ箱や積み木などを使い、

「ここを切ったらどんな形になる？」
「この部分を取ったら残りはどうなる？」

と実際に指で示してみてください。

実物と図を行き来すると、平面に描かれた立体図を読む力につながります。

式を書く前に立体を分解させる

難しい体積問題で、図を見た瞬間に数字を掛け始めるのは危険です。

まず、

「何個の直方体に分けられる？」
「全体から何を引けばいい？」

と考えさせます。

可能なら、問題の図に補助線を書き込みます。

立体を2つに分ける線を1本引くだけで、急に簡単な問題になることがあります。

家庭学習では計算式の正しさだけではなく、

計算する前にどんな分け方をしたか

を確認するとよいでしょう。

典型問題を少量ずつ繰り返す

体積が苦手だからといって、一度に20問、30問と解かせる必要はありません。

おすすめは、1つのパターンにつき3～5問程度です。

たとえば、

1日目：直方体・柱体
2日目：複合立体
3日目：くり抜き
4日目：水量変化
5日目：間違えた問題の解き直し

のように進めます。

その際、正解したかだけでなく、

「なぜ足したの？」
「なぜ引いたの？」
「どこを底面にしたの？」

と確認してください。

自分の言葉で説明できれば、理解がかなり深まっています。

まとめ｜中学受験算数の体積は「底面積」を意識すると強くなる

中学受験算数の体積は、公式の数が多い単元ではありません。

基本となるのは、

体積＝底面積×高さ

という考え方です。

直方体でも三角柱でも、まず底面積を求め、その面がどれだけ続いているかを見ることで整理できます。

複雑な立体では、

「分けて足す」
「全体から引く」

という2つの考え方を使います。

水量変化では、

「水の体積＝底面積×水の深さ」

を軸に考え、物体を沈めたときは水面が上がった分の体積に注目します。

家庭で教える際に最も大切なのは、公式を何度も唱えさせることではありません。

「どの面を底面と見たの？」
「どこで分ければ簡単になる？」
「水面が上がった部分はどこ？」

と問いかけ、立体の構造を自分で捉えさせることです。

体積は、基本の見方が身につくと応用問題にもつながりやすい単元です。

まずは簡単な柱体から始め、複合立体、水量変化へと段階的に進めることで、中学受験でも安定して得点できる力を育てていきましょう。