中学受験算数の定理｜覚えるべき図形の基本と使い方

中学受験算数で「定理」はどこまで覚えるべき？

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数で覚えておきたい定理や図形の性質と、問題で使えるようにするための勉強法を順を追って解説します。

「定理」と聞くと、中学生や高校生が数学で習う難しい内容をイメージする方もいるかもしれません。

しかし、中学受験算数で必要なのは、難しい証明を覚えることではありません。

実際には、

• 二等辺三角形の底角は等しい
• 平行線では同位角や錯角が等しい
• 三角形の内角の和は180度
• 相似な図形では対応する辺の比が等しい

といった、図形問題を解くための基本的な「きまり」を使いこなすことが中心です。

大切なのは定理の名前をたくさん覚えることではなく、図を見たときにどの性質が使えるか判断できることです。

中学受験では定理の名前より「使えること」が大切

中学受験の算数では、定理の正式名称を答えさせる問題はほとんどありません。

たとえば二等辺三角形を見て、

「これは二等辺三角形の底角の定理だから……」

と名前を言える必要はありません。

必要なのは、

「この2辺が同じ長さだから、向かい合う2つの角も同じになる」

と判断できることです。

つまり、中学受験では、

名前を覚える→問題に使う

というより、

図の特徴を見つける→使える性質を思い出す

という流れが重要です。

家庭学習でも「この定理の名前は？」と聞くより、

「この図で分かることは何？」

と聞くほうが実戦的です。

公式と定理の違いを難しく考えなくてよい

保護者の方から、

「公式と定理は何が違うのですか？」

と聞かれることがあります。

厳密に説明すると違いはありますが、小学生の中学受験学習ではそこまで神経質になる必要はありません。

たとえば、

三角形の面積＝底辺×高さ÷2

は公式として覚えることが多いでしょう。

一方、

二等辺三角形の底角は等しい

は図形の性質や定理として扱われます。

どちらも入試問題では「使える知識」であることに変わりありません。

子どもには、

「公式は計算するときの道具、定理や性質は図の中から新しい情報を見つける道具」

くらいの説明で十分です。

丸暗記だけでは図形問題で使えない

定理を一覧表にして全部覚えさせても、図形問題が急に得意になるとは限りません。

なぜなら、本番で問われるのは、

「この問題で何を使えばよいか」

を判断する力だからです。

たとえば、

「二等辺三角形の底角は等しい」

と暗唱できても、複雑な図の中に隠れた二等辺三角形を見つけられなければ使えません。

逆に、同じ長さの辺に印をつける習慣がある子は、

「ここに二等辺三角形がある」

と気づきやすくなります。

定理は知識として覚えるだけでなく、図のどこを見ると使えるのかまでセットで練習する必要があります。

中学受験算数で覚えておきたい図形の定理・性質

三角形の角度と二等辺三角形の性質

最も基本になるのが三角形です。

まず、

三角形の3つの内角の和は180度

という性質は必須です。

たとえば2つの角が50度と60度なら、

180－50－60＝70度

で残りの角を求められます。

さらに重要なのが二等辺三角形です。

2辺の長さが等しい三角形では、その2辺に向かい合う角が等しくなります。

たとえば頂角が40度なら、残り2つの角は等しいので、

180－40＝140度
140÷2＝70度

となります。

中学受験の角度問題では、二等辺三角形が図の中に隠れていることが非常に多くあります。

平行線の同位角・錯角

平行線も中学受験図形では頻出です。

2本の平行な直線を別の直線が横切ると、同じ位置にある角や交互に現れる角が等しくなります。

これが同位角・錯角です。

正式名称を完璧に覚えられなくても、

「平行線があれば同じ角度を探せる」

と考えられれば問題を解けます。

たとえば、ある角が35度と分かれば、平行線の性質によって別の場所にも35度を書き込める場合があります。

そこから三角形の内角の和を使えば、さらに別の角度が求まります。

図形問題では、1つ角度が分かったら、それを別の場所へ「移す」感覚が重要です。

三角形の外角の性質

三角形の1辺を伸ばしてできる外側の角にも重要な性質があります。

三角形の外角は、それと隣り合わない2つの内角の和に等しくなります。

たとえば離れた2つの内角が40度と55度なら、

外角＝40＋55＝95度

です。

もちろん、

180度から隣の内角を引く

という方法でも求められます。

中学受験では、複雑な角度問題ほど外角を利用すると計算が短くなることがあります。

ただし、最初から外角の公式として丸暗記させるより、

「三角形の内角の和が180度だから、こうなる」

と理由まで理解しておくほうが忘れにくくなります。

相似な図形の辺の比と面積比

難関校だけでなく、多くの中学校で重要になるのが相似です。

形が同じで大きさだけが違う図形では、対応する辺の比がすべて等しくなります。

たとえば相似比が

2：3

なら、対応する辺の長さも2：3です。

さらに、面積比は

2×2：3×3＝4：9

になります。

ここは非常に重要です。

辺の比が2：3だから面積比も2：3、としてしまうミスが多くあります。

面積は「縦方向と横方向」の両方が変わるため、比を2回かけると考えると理解しやすいでしょう。

相似は平面図形の面積、比、影、図形の移動など幅広い問題につながります。

円の中心角とおうぎ形の基本

円では、中心角を基準に考えることが重要です。

1周は360度なので、たとえば中心角90度のおうぎ形は円全体の

90÷360＝1/4

です。

したがって弧の長さも面積も円全体の1/4になります。

おうぎ形の面積なら、

円の面積×中心角÷360

で求められます。

円の問題では公式だけを覚えさせるより、

「360度のうち何度分なのか」

という割合の考え方を理解させると応用しやすくなります。

これは、中学受験算数では図形と割合がつながっている代表例です。

定理を使って中学受験の図形問題を解くコツ

図に「等しい角・辺」を書き込む

定理を知っていても、頭の中だけで処理すると見落としが増えます。

図形問題では必ず、

• 等しい長さには同じ印
• 等しい角には同じ印
• 平行な線には矢印

などを書き込みましょう。

たとえば2辺が等しいと分かったら、すぐに同じ印をつけます。

すると、

「二等辺三角形だから、この2角も同じ」

と次の情報につながります。

図に書き込むことは単なるメモではありません。

定理を見える形にする作業です。

算数が苦手な子ほど、この作業を丁寧にするだけで図形問題が整理しやすくなります。

補助線は知っている形を作るために引く

中学受験の図形では、「補助線が思いつかない」という悩みも多くあります。

ただ、補助線は勘で引くものではありません。

目的は、

• 二等辺三角形を作る
• 正三角形を作る
• 平行線を作る
• 相似な三角形を作る
• 同じ高さの三角形を作る

など、知っている定理や性質を使える形へ変えることです。

たとえば角度問題で60度が多く出てきたら、正三角形を作れないか考えることがあります。

相似を使いたいなら、平行線を引けないか考えることもあります。

子どもに「どこへ補助線を引けばいい？」と聞くより、

「どんな形ができれば解けそう？」

と聞くほうが考え方を育てやすくなります。

1つの定理だけで解こうとしない

中学受験の図形問題では、複数の性質を順番に使うことが多くあります。

たとえば、

1. 二等辺三角形から角度を求める
2. 平行線の錯角で別の角へ移す
3. 三角形の内角の和で最後の角を出す

という流れです。

つまり、

「この問題は何の定理？」

と1つに決める必要はありません。

むしろ、

「今分かっていることから、次に何が分かる？」

と一段ずつ進めることが大切です。

難しい図形問題ほど、一気に答えへ進むのではなく、小さな性質を積み重ねて解きます。

算数の定理が覚えられない子への家庭学習法

定理は「言葉＋図＋問題」で覚える

定理の名前と文章だけを暗記しても、記憶には残りにくいものです。

おすすめなのは、

言葉＋図＋典型問題

の3つをセットにする方法です。

たとえば二等辺三角形なら、

「2辺が等しいと底角も等しい」

という言葉だけでなく、簡単な三角形を書き、等しい辺と角に印をつけます。

その直後に、

「頂角が50度なら底角は何度？」

という問題を1問解きます。

このように実際に使うことで、定理が単なる暗記事項ではなく「問題を解く道具」になります。

子どもに「なぜ使えるの？」を説明してもらう

理解を確認するときは、答えだけでなく理由を聞いてみましょう。

たとえば、

「この角とこの角が同じなのはなぜ？」

と聞きます。

子どもが、

「この2辺が同じだから二等辺三角形になるから」

と答えられれば、定理と図を結びつけられています。

最初は説明がうまくできなくても問題ありません。

「どの辺が同じ？」
「何三角形になる？」

と順番に聞けば、自分で答えに近づけます。

人に説明しようとすると、自分がどこまで分かっているかもはっきりします。

定理一覧を眺めるより典型問題を反復する

試験前になると「図形の定理一覧」を丸暗記したくなるかもしれません。

確認用として一覧表を使うこと自体は悪くありません。

ただし、学習の中心にするのはおすすめできません。

定理は、問題の中で使って初めて定着します。

たとえば、

• 二等辺三角形の角度問題
• 平行線を使う角度問題
• 相似比から長さを求める問題

など、典型問題を何度か解き直すほうが効果的です。

同じ問題でも、

当日
3日後
1週間後

というように間隔を空けて解くと、解法を本当に思い出せるか確認できます。

「覚えたはずなのに使えない」を防ぐには、暗記より反復が大切です。

まとめ｜中学受験算数の定理は「暗記」より「使い方」が重要

中学受験算数では、図形を解くためにさまざまな定理や性質を使います。

特に押さえておきたいのは、

• 三角形の内角の和
• 二等辺三角形の性質
• 平行線の同位角・錯角
• 三角形の外角
• 相似な図形の辺の比・面積比
• 円やおうぎ形と中心角の関係

などです。

ただし、定理の正式名称をたくさん暗記することが目的ではありません。

重要なのは、

「この図なら何が等しいのか」「どの性質が使えるのか」

を自分で見つけられることです。

算数が苦手なお子さんには、定理一覧を丸暗記させるより、図に同じ長さや角度の印を書かせてください。

さらに、

「どうしてここが同じになるの？」

と聞き、理由を自分の言葉で説明してもらうと理解が深まります。

中学受験の難しい図形問題も、特別な定理1つで突然解けるわけではありません。

基本的な性質を1つずつ使い、分かることを増やしていった先に答えがあります。

定理は覚えるための知識ではなく、複雑な図形を簡単な形へ変えていくための道具です。

この感覚が身につけば、初めて見る図形問題でも落ち着いて考えられるようになります。