中学受験算数の面積比を攻略｜基本と解き方を解説

中学受験算数の面積比で最初に押さえる基本

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の面積比で必ず押さえておきたい基本から、相似や補助線を使った応用問題の考え方、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数では、図形の面積を実際に計算する問題だけでなく、「面積の比」を使って答えを出す問題が頻繁に登場します。

面積比が苦手な子は、図形を見るたびに、

「底辺×高さ÷2で全部の面積を出さないといけない」

と考えがちです。

しかし、入試問題では長さがすべて与えられていないことも珍しくありません。

そこで重要になるのが、

同じ高さなら底辺の比を見る
同じ底辺なら高さの比を見る
相似なら相似比を2乗する

という3つの考え方です。

面積比は公式を暗記する単元というより、図形の中から「共通しているもの」を発見する単元だと考えると理解しやすくなります。

同じ高さなら面積比は底辺の比になる

三角形の面積は、

底辺×高さ÷2

で求めます。

たとえば、同じ直線上に底辺を持ち、頂点が共通している2つの三角形を考えます。

一方の底辺が4cm、もう一方が6cmで、高さが同じなら、

面積A：面積B
＝4×高さ÷2：6×高さ÷2

です。

両方に共通する「高さ」と「÷2」を消せるため、

4：6＝2：3

となります。

つまり、

高さが同じ三角形では、面積比＝底辺の比

です。

中学受験の面積比で最もよく使う基本なので、まずここを確実にしましょう。

家庭で教えるときは、

「高さが同じなら、違うのはどこ？」

と聞くと、底辺に注目しやすくなります。

同じ底辺なら面積比は高さの比になる

反対に、底辺が同じ三角形では高さに注目します。

たとえば底辺がともに5cmで、高さが3cmと7cmなら、

面積A：面積B
＝5×3÷2：5×7÷2

となります。

共通する5と÷2を消すと、

3：7

です。

したがって、

底辺が同じなら、面積比＝高さの比

となります。

特に、平行線が入った図形では同じ高さを見つける問題が多くなります。

「平行」という条件が出てきたら、面積比と関係する可能性を疑う習慣をつけるとよいでしょう。

相似な図形では面積比は相似比の2乗になる

相似な図形では、辺の長さの比を相似比といいます。

たとえば、相似比が、

2：3

なら、面積比は、

2×2：3×3
＝4：9

です。

これは、縦と横の両方が2：3の割合で変化するためです。

正方形なら分かりやすく、

1辺2cmの正方形の面積は4㎠
1辺3cmの正方形の面積は9㎠

となります。

そのため、

相似比2：3 → 面積比4：9

です。

ここでよくある間違いが、相似比2：3をそのまま面積比2：3としてしまうことです。

面積では長さを2回掛けるため、「2乗になる」と理解しておきましょう。

面積比の問題を解く基本手順

まず「共通する高さ・底辺」がないか探す

面積比の問題を見たとき、いきなり公式を書き始める必要はありません。

最初に、

高さが同じ三角形はないか
底辺が同じ三角形はないか

を探します。

たとえば、三角形ABCの底辺BC上に点Dがあり、

BD：DC＝2：3

だったとします。

三角形ABDと三角形ADCは、どちらもAからBCへ下ろした高さが同じです。

したがって、

三角形ABD：三角形ADC
＝BD：DC
＝2：3

です。

高さを実際に求める必要はありません。

この「共通部分を消して比だけ残す」という発想が、面積比の基本です。

面積を実際に求めず比だけで考える

算数が苦手な子ほど、図形の面積を見るとすぐ数値を出そうとします。

しかし中学受験では、比だけで解ける問題が多くあります。

たとえば、

三角形ABCの面積が50㎠で、BD：DC＝2：3

なら、

三角形ABD：三角形ADC＝2：3

です。

全体は、

2＋3＝5

と考えます。

したがって三角形ABDの面積は、

50×2/5＝20㎠

三角形ADCは、

50×3/5＝30㎠

となります。

「比の合計→1あたり→必要な比の分」という流れは、比の文章題と同じです。

面積比が分かると、図形問題と比の単元がつながって見えるようになります。

面積比から辺の比を逆算する問題に注意する

逆向きの問題もあります。

たとえば、相似な2つの三角形の面積比が、

9：25

だったとします。

相似比は、

3：5

です。

面積比が辺の比の2乗なので、

9＝3²
25＝5²

と戻します。

ここで、

面積比9：25だから辺の比も9：25

としてはいけません。

この逆算は難関校でもよく使われる考え方です。

家庭では、

「辺から面積に行くときは2乗。面積から辺に戻るときは平方数に戻す」

と整理すると覚えやすくなります。

中学受験でよく出る面積比の応用問題

三角形を分割した面積比

次のような問題を考えてみましょう。

三角形ABCの辺BC上に点Dがあり、

BD：DC＝3：2

です。

このとき、

三角形ABD：三角形ADC

を求めます。

2つの三角形はAからBCへの高さが共通なので、

3：2

です。

では、三角形ABC全体を5と考え、面積が40㎠ならどうなるでしょうか。

1あたりは、

40÷5＝8㎠

なので、

三角形ABD＝8×3＝24㎠
三角形ADC＝8×2＝16㎠

です。

まず小さな三角形同士の比を見つけ、そのあと全体との比につなげるのが基本です。

相似と面積比を組み合わせる問題

次に、相似比が3：4の2つの三角形を考えます。

面積比は、

3²：4²
＝9：16

です。

大きい三角形の面積が80㎠なら、小さい三角形は、

80×9/16＝45㎠

となります。

中学受験では、

相似を見つける
↓
辺の比を出す
↓
面積比へ変える
↓
実際の面積を求める

という流れが頻出です。

そのため、面積比だけを単独で勉強するのではなく、相似とセットで復習すると理解が深まります。

補助線を引いて面積比を作る問題

難しい面積比の問題では、そのままでは同じ高さや同じ底辺が見えないことがあります。

そこで補助線を引きます。

たとえば四角形の中に対角線を1本引くと、2つの三角形に分かれます。

すると、

「この2つは底辺が同じ」
「こちらは高さが同じ」

という関係が見えることがあります。

補助線を引く目的は、図を複雑にすることではありません。

自分が使える面積比の形を作ることです。

家庭で子どもが補助線を引けないときは、

「どの三角形とどの三角形を比べたい？」

と聞きます。

その2つに共通する高さや底辺が作れないか考えると、補助線の方向が見えやすくなります。

面積比が苦手な子を家庭で伸ばす方法

「なぜその比になるか」を言葉で説明させる

面積比では、答えが合っているだけでは理解できているとは限りません。

たとえば、

「面積比2：3」

と正解できても、

「なぜ？」

と聞いたときに、

「なんとなく」

では応用問題に対応しにくくなります。

家庭では、

「高さが同じだから底辺の比と同じ」

と一言で説明させてください。

相似なら、

「辺の比が2：3だから、面積比は2²：3²で4：9」

と説明させます。

自分の言葉で理由を言える状態が、理解できている目安です。

公式暗記より同じ高さ・同じ底辺を探す練習をする

面積比を苦手にする原因の一つが、

「どの公式を使うか探そうとする」

ことです。

それよりも、図を見るたびに、

「同じ高さはどこ？」
「同じ底辺はどこ？」
「相似な図形はある？」

と確認するほうが実戦的です。

たとえば1日3問程度、答えまで出さなくても、

「この三角形同士なら面積比を出せる」

という組み合わせだけを探す練習も効果的です。

問題を見る目そのものを育てることができます。

図に比を書き込んで考える習慣をつける

面積比の問題では、与えられた比を問題文の中だけで管理すると混乱しやすくなります。

たとえば、

AB：BC＝2：3

と書いてあれば、図のABの横に「2」、BCの横に「3」と直接書き込みます。

相似比が3：5なら、それも対応する辺に書きます。

すると、

「この三角形の底辺は2」
「こちらは3」

という関係が目で分かります。

面積比が苦手な子ほど、頭の中だけで処理しないことが重要です。

図に情報を書き込み、見える形にして考えましょう。

まとめ｜面積比は「どこが共通しているか」を見抜く単元

中学受験算数の面積比では、まず次の3つを確実に押さえましょう。

同じ高さなら、面積比＝底辺の比

同じ底辺なら、面積比＝高さの比

相似なら、面積比＝相似比の2乗

この3つが面積比の土台です。

問題を見たら、いきなり面積を計算するのではなく、

「同じ高さはある？」
「同じ底辺はある？」
「相似な図形はある？」

と確認してください。

特に三角形の分割問題では、実際の高さを求めなくても、底辺の比だけで面積比が分かる場合があります。

また相似比が2：3なら、面積比は4：9です。

反対に面積比が16：25なら、辺の比は4：5と戻します。

家庭学習では、公式を何度も暗記させるより、

「どうしてこの面積比になるの？」

と説明させることが重要です。

さらに難しい問題では、補助線を使って「同じ高さ」「同じ底辺」を意図的に作る発想も必要になります。

面積比は一見すると複雑ですが、考え方の中心はとてもシンプルです。

面積を全部計算するのではなく、共通する部分を消して違う部分だけ比べる。

この感覚が身につくと、平面図形、相似、割合、比などがつながり、中学受験算数の図形問題を大きく得点源にしやすくなります。