中学受験算数の集合を攻略｜ベン図と人数問題の解き方

中学受験算数の「集合」とは？まず意味を理解しよう

この記事では、中学受験算数の「集合」でなぜ間違えるのかを整理し、ベン図を使った基本の考え方から家庭での教え方まで順を追って解説します。

集合の問題は、計算そのものが難しい単元ではありません。それでも苦手とする子が多いのは、「同じ人を2回数えてしまう」「問題文の条件を整理できない」といった、情報整理の部分でつまずきやすいからです。

逆にいえば、条件を図に整理する習慣が身につけば、安定して得点しやすい単元でもあります。

集合は「条件に当てはまるものの集まり」

中学受験算数でいう「集合」とは、簡単にいえば同じ条件に当てはまるものをひとまとめにしたグループのことです。

たとえば、30人のクラスで、

• サッカーが好きな人
• 野球が好きな人

を調べたとします。

このとき「サッカーが好きな人の集まり」が1つの集合、「野球が好きな人の集まり」がもう1つの集合です。

ここで大切なのは、1人が必ずどちらか一方だけに入るとは限らないことです。

サッカーも野球も好きな人は、両方の集合に入ります。

集合の問題を理解する第一歩は、数字を見る前に「どのようなグループに分かれているのか」を確認することです。

「どちらにも入る」「どちらにも入らない」を区別する

集合問題では、次の4種類に分けて考えると整理しやすくなります。

たとえば「算数が好きな人」と「理科が好きな人」で考えると、

1. 算数だけが好き
2. 理科だけが好き
3. 算数も理科も好き
4. どちらも好きではない

という4つです。

算数が苦手な子ほど、「算数が好きな人15人」「理科が好きな人12人」と聞くと、すぐに15＋12をしたくなります。

しかし、両方が好きな人がいる場合、その人を2回数えてしまいます。

集合問題で最も大切なのは、重なっている部分があるかどうかを確認することです。

集合問題でベン図を使う理由

そこで役立つのが「ベン図」です。

2つの円を少し重ねて書き、

• 左の円＝算数が好き
• 右の円＝理科が好き
• 重なった部分＝両方好き

と整理します。

ベン図のよいところは、文章だけでは見えにくい条件を、目で確認できることです。

特に「両方」「どちらか一方」「どちらにも当てはまらない」といった表現が出てきたとき、図にするだけで考えやすくなります。

集合が苦手な子には、「計算する前に円を2つ書く」を習慣にすると効果的です。

中学受験算数の集合で覚えたい基本の解き方

2つの集合は「重なり」から考える

例題で考えてみましょう。

あるクラスには40人います。

• サッカーが好きな人……24人
• 野球が好きな人……18人
• 両方好きな人……8人

サッカーか野球の少なくとも一方が好きな人は何人でしょうか。

24＋18＝42人

としてしまうと、クラスの40人を超えてしまいます。

理由は、両方好きな8人を2回数えているからです。

そこで、

24＋18－8＝34人

となります。

一度重複して数えた人数を引くのがポイントです。

「少なくとも一方」の人数を求める公式

2つの集合では、次の考え方を覚えておくと便利です。

少なくとも一方に属する人数
＝Aの人数＋Bの人数－両方に属する人数

先ほどの例なら、

24＋18－8＝34人

です。

ただし、小学生に教えるときは、公式だけを暗記させるのはおすすめしません。

「両方好きな8人を、24人の中でも18人の中でも数えているから、1回分引くんだね」

と理由まで説明できることが大切です。

中学受験では、数字や条件を変えた問題が出題されます。意味を理解せずに公式だけ覚えていると、少し形式が変わっただけで混乱しやすくなります。

「どちらにも属さない」人数の求め方

先ほどの例では、クラス全体が40人で、少なくとも一方が好きな人は34人でした。

したがって、どちらも好きではない人は、

40－34＝6人

です。

このように、

全体－少なくとも一方に属する人数
＝どちらにも属さない人数

と考えられます。

問題文に「全員で何人」という数字が出てきたら、円の外側にいる人まで考える必要がないか確認しましょう。

集合の応用問題で間違えやすいポイント

3つの集合は中央の共通部分から埋める

難関校では、集合が3つ登場することもあります。

たとえば、

• 国語が好き
• 算数が好き
• 理科が好き

という3つの集合です。

3つになると、ベン図も円が3つ重なった形になります。

このときは、外側から数字を入れるのではなく、3つすべてに共通する中央部分から埋めるのが基本です。

その次に、

• 国語と算数の両方
• 算数と理科の両方
• 国語と理科の両方

を整理し、最後に「国語だけ」「算数だけ」「理科だけ」を求めます。

内側から外側へ整理することで、重複を減らせます。

「だけ」「両方」「少なくとも」の言葉に注意

集合問題では、計算力以上に日本語の読み取りが重要です。

特に注意したいのが次の言葉です。

「算数が好きな人」には、算数だけが好きな人だけでなく、算数と理科の両方が好きな人も含まれます。

一方、

「算数だけが好きな人」

なら、他の集合と重なった人は含みません。

また、

「少なくとも一方」

は「1つ以上」という意味です。

つまり、Aだけ、Bだけ、AとBの両方をすべて含みます。

保護者が教えるときには、「この言葉は図のどこの部分？」と聞きながら確認すると、文章と図が結びつきやすくなります。

人数を二重に数えないことが重要

集合のミスの多くは、結局「同じ人を何回数えているか」に行き着きます。

たとえば、

Aが20人
Bが15人
AとBの両方が5人

なら、

20＋15

とした時点で、両方に属する5人を2回数えています。

そのため、

20＋15－5＝30人

となります。

答え合わせで不正解だったときも、「公式を忘れた」と考えるより、

誰を2回数えてしまったのか

を確認するほうが理解につながります。

この振り返りを続けると、集合以外の「場合の数」や「割合」の問題でも、条件を重複させず整理する力が育っていきます。

集合が苦手な子に家庭で教えるコツ

最初から式を立てずベン図を書かせる

家庭学習では、子どもが問題文を読み終えた直後に式を書こうとしていたら、一度止めてみてください。

先に、

「どんなグループがある？」

と聞き、円を書かせます。

集合問題では、式は最後です。

おすすめの順番は、

問題文を読む
→条件に線を引く
→ベン図を書く
→人数を書き込む
→式を立てる

です。

この流れを毎回同じにすると、問題が変わっても対応しやすくなります。

数字の小さい具体例で確認する

ベン図そのものを理解できない場合は、いきなり入試問題を解かせる必要はありません。

家族5人を例に、

「りんごが好きな人は3人」
「みかんが好きな人は4人」
「両方好きな人は2人」

など、実際の人物を思い浮かべながら整理してみましょう。

人数が少ないと、一人ひとりを指で数えて確認できます。

抽象的な数字だけでは分からなかった子でも、「この2人は両方に入っている」と視覚的に理解すると、一気に意味がつながることがあります。

間違えた問題は「どこを二重に数えたか」を振り返る

集合問題の復習では、答えを写して終わらせないことが重要です。

間違えたら、

「どの数字を2回数えた？」
「図のどこを見落とした？」
「『だけ』という言葉を読み落としていなかった？」

と原因を確認します。

特におすすめなのは、正解のベン図をもう一度自分で書き直すことです。

同じ問題を翌日、さらに数日後に解いてみると、解き方が定着しているか確認できます。

家庭での声かけも「どうして間違えたの？」ではなく、

「この5人は、どことどこに入っている？」

のように具体的に問いかけると、子どもが自分で気づきやすくなります。

まとめ｜中学受験算数の集合は図に整理すれば解きやすい

中学受験算数の集合は、計算そのものよりも「条件を正しく整理できるか」が得点を左右する単元です。

特に大切なのは、

• 集合を条件に当てはまる人のグループとして考える
• ベン図を書いて重なりを確認する
• 2つの集合では重複した人数を1回引く
• 「だけ」「両方」「少なくとも一方」を区別する
• 3つの集合では中央の共通部分から整理する

という点です。

集合が苦手な子ほど、公式を増やすよりも「図を書いて人数を整理する」練習を優先してください。

最初はベン図を書くことに時間がかかっても問題ありません。図を使って「同じ人を二重に数えない」という感覚が身につくと、やがて式だけでも意味を理解できるようになります。

集合は、場合の数や割合などにもつながる大切な考え方です。家庭学習では答えを急がせず、「誰がどのグループに入っているのか」を親子で確認するところから始めてみてください。