中学受験算数「30度の利用」｜図形問題の解き方

中学受験算数の「30度の利用」とは？

この記事では、中学受験算数の「30度の利用」について、必ず押さえたい図形の性質、補助線の引き方、辺の長さや面積を求める典型問題まで順を追って解説します。

中学受験算数の平面図形では、30度という角度が重要なヒントになることがあります。

30度を見たときに思い出したいのが、

30度
60度
90度

でできる直角三角形と、正三角形です。

難しい公式を覚えるというより、「30度があると、どんな図形を作れそうか」と考えることがポイントです。

30度を見たら正三角形を意識する

正三角形の3つの角は、すべて60度です。

この正三角形を頂点から底辺へ半分に分けると、

30度
60度
90度

の直角三角形が2つできます。

つまり、30度が図に現れたら、

「正三角形を作れないか」
「60度と組み合わせられないか」

と考える価値があります。

中学受験では、この発想が補助線を引くきっかけになります。

30度・60度・90度の三角形には重要な性質がある

30度・60度・90度の直角三角形では、辺の長さに特別な関係があります。

特に重要なのが、

30度の向かい側の辺は、斜辺の半分

という性質です。

例えば斜辺が10cmなら、30度の向かい側は、

10÷2＝5cm

です。

この関係は、中学受験の図形問題で非常によく利用します。

30度の向かいの辺は斜辺の半分になる

なぜ半分になるのでしょうか。

30度・60度・90度の直角三角形を同じもの2つ用意し、30度のところでつなげると、60度ずつの角をもつ正三角形を作ることができます。

正三角形では3辺がすべて同じ長さです。

元の直角三角形の斜辺が正三角形の1辺にあたり、その底辺が2等分されています。

そのため、

斜辺10cm
→底辺全体10cm
→半分5cm

となります。

「30度なら半分」と丸暗記するより、正三角形を半分にした形だと理解しておくと忘れにくくなります。

三角比を使わず算数の知識で解ける

30度・60度・90度というと、高校数学の三角比を思い浮かべる保護者もいるかもしれません。

しかし中学受験算数では、

正三角形
二等辺三角形
直角
角度の和

など、小学生が扱える図形の性質を利用して解きます。

sin30°＝1/2と覚えさせる必要はありません。

むしろ「なぜ半分になるのか」を図形として理解することが大切です。

30度の利用を基本例題で理解しよう

30度の利用は、まず典型問題を通して覚えるのが近道です。

斜辺から30度の向かいの辺を求める

例題1：直角三角形ABCで、角A＝30度、角C＝90度、斜辺AB＝12cmです。BCの長さを求めなさい。

BCは30度の角Aの向かい側です。

30度の向かい側の辺は斜辺の半分なので、

12÷2＝6cm

です。

したがって、

BC＝6cm

となります。

ここで大切なのは「30度に接している辺」ではなく、30度の向かい側を見ることです。

短い辺から斜辺を求める

今度は逆です。

例題2：30度・60度・90度の直角三角形で、30度の向かい側が7cmです。斜辺を求めなさい。

30度の向かい側は斜辺の半分なので、

7×2＝14cm

です。

「斜辺→半分」だけでなく、

「短い辺→2倍」

と逆向きにも使えるようにしましょう。

正三角形を半分にして30度を作る

例題3：1辺12cmの正三角形ABCで、Aから辺BCへ垂線を引き、交点をDとします。BDの長さを求めなさい。

正三角形なので、

BC＝12cm

です。

頂点Aから底辺BCへ垂線を引くと、左右対称になるためDはBCの中点です。

したがって、

BD＝12÷2＝6cm

です。

このとき三角形ABDの角は、

30度・60度・90度

になります。

「正三角形を半分にすると30度が生まれる」という形を覚えておくと、逆に30度から正三角形を発想しやすくなります。

30度が隠れている図形を見つける

問題文に「30度」と直接書かれていない場合もあります。

例えば二等辺三角形で頂角が120度なら、残り2つの角は等しいので、

（180－120）÷2＝30度

です。

つまり底角が30度になります。

また、

90度－60度＝30度

のように、直角と60度から30度が生まれる場合もあります。

図の中に、

60度
90度
120度

があったら、30度を作れないか確認してみましょう。

中学受験の図形で30度を利用するコツ

応用問題では、30度の性質がそのまま見えるとは限りません。

自分で補助線を加えて使える形を作る必要があります。

補助線を引いて正三角形を作る

30度を利用する代表的な方法が、正三角形を作る補助線です。

例えばある辺を1辺として、その外側に正三角形を作ると、

60度

が新しくできます。

もともとの30度と組み合わせることで、

30＋60＝90度

となり、直角三角形を作れる場合があります。

補助線の目的は「線を増やすこと」ではありません。

知っている図形に変えることです。

30度なら、まず正三角形を候補にしましょう。

二等辺三角形から30度・60度を探す

二等辺三角形では、2つの底角が等しくなります。

例えば頂角が120度なら、

（180－120）÷2＝30度

です。

逆に底角が30度ずつなら、頂角は、

180－30－30＝120度

です。

図形問題では、

等しい辺に印を付ける
↓
二等辺三角形を見つける
↓
角度を計算する
↓
30度・60度を発見する

という流れがよくあります。

辺の長さだけでなく面積問題にも利用する

30度の性質は長さだけでなく、面積にもつながります。

例えば斜辺10cmの30度・60度・90度の直角三角形なら、30度の向かい側は5cmです。

もしもう一方の辺や高さが別の条件から分かれば、

底辺×高さ÷2

で面積を求められます。

つまり、最終的に面積を聞かれていても、その途中で30度を利用して必要な長さを求めることがあります。

「面積問題だから面積公式だけ」と考えないことが大切です。

30度があるだけで公式を使わない

注意したいのは、30度という数字を見ただけで、

「向かい側は半分！」

と決めつけないことです。

この性質をそのまま使えるのは、

30度・60度・90度の直角三角形

です。

直角がない普通の三角形で、30度が1つあるだけでは使えません。

まず、

直角があるか
残りの角が60度か
正三角形を作れるか

を確認してください。

ここを省略すると、典型解法を覚えているのに間違える原因になります。

30度の利用が苦手な子への家庭での教え方

30度の利用は、公式を何個も覚えさせるより「形」を覚えるほうが効果的です。

まず30度・60度・90度の形を覚える

最初に直角三角形を書き、

30度
60度
90度

を書き込みます。

そして、

30度の向かい側＝短い辺
斜辺＝その2倍

と確認します。

例えば、

短い辺4cm→斜辺8cm
斜辺18cm→短い辺9cm

と口頭で答えられるようにすると、基本が安定します。

図を回転させても同じ性質だと確認する

教材では、いつも30度が左下にあるとは限りません。

三角形が横向き、逆向き、斜めになって出ることもあります。

そのたびに、

「30度はどこ？」
「その向かい側はどの辺？」
「斜辺はどれ？」

と確認します。

形の向きではなく、角度と辺の位置関係を見る習慣をつけることが重要です。

補助線を先に教えすぎない

応用問題で子どもが止まると、親がすぐ、

「ここに線を引けばいいよ」

と教えたくなります。

しかし、それでは補助線を自分で発見する練習になりません。

まず、

「30度から何を思い出す？」
「60度を作れない？」
「正三角形を作る場所はない？」

と段階的にヒントを出します。

自分で線を引けた経験を増やすことが大切です。

基本から応用へ3段階で練習する

家庭学習では、次の順番がおすすめです。

第1段階は、

30度・60度・90度が最初から見えている問題。

第2段階は、

二等辺三角形などから30度を自分で求める問題。

第3段階は、

補助線を引いて正三角形や直角三角形を作る問題。

いきなり第3段階ばかり解かせると、「補助線なんて思いつかない」と苦手意識が強くなります。

まず典型的な形を十分に身につけてから応用へ進みましょう。

まとめ｜30度を見たら正三角形と「半分」を思い出そう

中学受験算数の「30度の利用」で最も重要なのは、

30度・60度・90度の直角三角形では、30度の向かい側の辺が斜辺の半分になる

という性質です。

例えば、

斜辺12cmなら短い辺6cm
短い辺7cmなら斜辺14cm

となります。

この関係は、正三角形を半分にすると理解しやすくなります。

応用問題では、

30度を探す
↓
60度・90度との関係を見る
↓
正三角形を作れないか考える
↓
必要なら補助線を引く

という順番で考えましょう。

また、

二等辺三角形の頂角120度
直角と60度の組み合わせ

など、30度が隠れている問題にも注意します。

ただし、30度があるだけで「斜辺の半分」を使うことはできません。30度・60度・90度の直角三角形になっていることを必ず確認してください。

中学受験算数の30度の利用は、特殊な公式を覚える単元ではありません。「30度を見たら正三角形」「30度の向かいは斜辺の半分」という2つを起点に、知っている図形へ変えることが攻略のポイントです。