中学受験算数の掃除当番｜周期の解き方を解説

中学受験算数の「掃除当番」はどんな問題？

この記事では、中学受験算数でよく出る「掃除当番」の周期問題について、最小公倍数を使う理由から「何日目」を求める方法まで順番に解説します。

中学受験算数で「掃除当番」と検索すると、出席番号順に何人かずつ当番を担当し、最後の番号まで行ったら1番へ戻るタイプの問題がよく登場します。

これは代表的な周期算の一種です。

実際に中学受験向け教材や解説でも、「掃除当番の問題」は数の性質や周期の利用問題として扱われています。

掃除当番は周期算の典型問題

例えば、

クラスは38人
1日8人ずつ掃除当番
1番から順番に担当
38番まで行ったら1番へ戻る

という設定を考えます。

1日目は、

1～8番

2日目は、

9～16番

3日目は、

17～24番

となります。

そのまま進むと38番で終わらず、次の日のグループでは再び1番へ戻ります。

この「同じ並びがいつ再び現れるか」を考えるのが周期算です。

クラス人数と1日の当番人数に注目する

掃除当番問題では、

クラス全体の人数
1日に担当する人数

の2つに注目します。

38人のクラスを8人ずつ区切る場合、

38人ごとに出席番号が1番へ戻る
8人ごとに1日分のグループが区切られる

という2つの周期があります。

この2つが同時に最初の状態へ戻るところを探すため、最小公倍数を使います。

38と8の最小公倍数は、

152

です。

つまり、延べ152人分進むと、出席番号の並びと1日8人の区切りが再び同じ位置へ戻ります。実際の受験算数解説でも、この考え方を使って38人・8人ずつの掃除当番の周期を求めています。

「何日後」と「何日目」を区別する

掃除当番問題で特に多いミスが、

何日後
何日目

の違いです。

例えば1周期が19日なら、

19日後に次の周期が始まる

と考えられます。

しかし最初の日を「1日目」と数える問題では、

同じグループが再び登場するのは20日目

となることがあります。

最後に1を足す必要があるのかどうかを、問題文で確認しましょう。

掃除当番の基本問題を例題で解いてみよう

ここからは、実際の典型問題を使って考え方を確認します。

例題1｜38人を1日8人ずつ担当する場合

問題

38人のクラスで、出席番号1番から順番に毎日8人ずつ掃除をします。38番まで行ったら再び1番へ戻ります。1～8番の8人が次に同じメンバーで掃除当番になるのは何日目ですか。

ポイントは、

38人の周期
8人区切りの周期

が同時にそろう位置を探すことです。

38と8の最小公倍数は、

152

です。

したがって、延べ152人で1周期となります。

例題2｜最小公倍数から1周期の日数を求める

延べ152人で1周期ですが、問題で聞かれているのは人数ではなく日数です。

1日8人なので、

152÷8＝19日

です。

つまり、最初の並びが一巡するまで19日かかります。

この計算が大切です。

最小公倍数152を出して、

「答え152日」

としてしまうミスがあります。

152は延べ人数であり、日数ではありません。

単位を必ず確認しましょう。

例題3｜同じメンバーになる日を求める

1周期が19日なら、

1～8番が最初に担当するのは1日目です。

19日間で周期が終わり、次の周期が始まるのは、

19＋1＝20日目

です。

したがって答えは、

20日目

です。

実際の典型問題でも、38と8の最小公倍数152から19日間の周期を求め、同じ1～8番のグループが再び登場するのを20日目とする解説があります。

例題4｜40人を6人ずつ担当する場合

次は、

40人のクラス
1日6人ずつ

とします。

40と6の最小公倍数は、

120

です。

延べ120人進むと、出席番号と6人区切りが元の状態へ戻ります。

日数は、

120÷6＝20日

です。

したがって、最初の1～6番のメンバーが次にそろうのは、

20＋1＝21日目

です。

同様の40人・6人ずつの例は、中学受験教材でも周期問題の例として扱われています。

掃除当番問題で差がつく応用ポイント

基本形が分かったら、条件が増えた問題に注意しましょう。

休日がある場合は実際の掃除日だけ数える

例えば、

土曜日と日曜日は掃除をしない

という条件がある場合、単純に日数を足すだけではいけません。

掃除当番が進むのは、

月曜日
火曜日
水曜日
木曜日
金曜日

だけです。

まず「何回目の掃除当番か」を求め、その後カレンダー上の日付へ直します。

実際の中学入試でも、掃除当番と曜日・日暦を組み合わせる問題が扱われています。

特定の人が何回目に当番になるかを考える

問題によっては、

1番から8番全員がそろう日

ではなく、

「出席番号5番の人が次に当番になるのはいつか」

と聞かれることもあります。

この場合は、全体の周期まで待たなくても5番が含まれるグループが先に現れる可能性があります。

実際に、

1、2、3、4、5、6、7、8
9、10、11、12……

と書き出し、

どこで5番が再登場するか

を見る方法が有効です。

「全員が同じメンバーでそろう」のか「1人だけ再登場する」のかで解き方が変わります。

当番人数とクラス人数が互いに素の場合

例えば、

47人を7人ずつ

のように、2つの数に共通の約数がない場合を考えます。

この場合、

47と7の最小公倍数は、

47×7＝329

です。

互いに素なら、そのまま積が最小公倍数になります。

数が大きくても、共通の約数がないと気づけば計算を短くできます。

場合の数の「掃除当番」と混同しない

「掃除当番」という言葉は、周期算だけでなく場合の数にも登場します。

例えば、

6人の中から3人を掃除当番に選ぶ

という問題なら、これは周期算ではありません。

「誰を選ぶか」という組み合わせの問題です。

実際に中学受験教材でも、掃除当番を選ぶ設定で場合の数を扱う例があります。

見分け方は簡単です。

順番に何日も繰り返す
→周期算

何人かを選ぶ
→場合の数

です。

掃除当番の周期算が苦手な子への教え方

掃除当番問題で止まる子は、最小公倍数そのものより、「なぜ最小公倍数なのか」が分かっていないことがあります。

実際に出席番号を書き並べる

最初から公式を使わせる必要はありません。

例えば10人を4人ずつなら、

1日目　1・2・3・4
2日目　5・6・7・8
3日目　9・10・1・2
4日目　3・4・5・6

と実際に書きます。

こうすると、

クラスの人数と当番人数の区切りがずれていく

ことが目で分かります。

小さい数字で仕組みを理解してから、大きい数で最小公倍数を使うと理解しやすくなります。

まず「何人進めば元に戻るか」を考える

掃除当番問題では、いきなり何日目を求めようとすると混乱します。

最初に、

「延べ何人分進んだら、元の並びに戻る？」

と考えましょう。

38人と8人なら、

38でも8でも割り切れる最初の数

を探します。

それが152です。

ここで初めて最小公倍数が登場します。

最小公倍数を使う理由を説明させる

子どもが、

「38と8だから最小公倍数」

とだけ覚えていたら、

「どうして最大公約数じゃないの？」

と聞いてみます。

答えは、

38人の並び
8人ごとの区切り

の両方が同時にそろう位置を探すからです。

「両方の倍数になる最初の数」を探しているので、最小公倍数を使います。

最後に日数へ直すことを忘れない

最小公倍数を求めることがゴールではありません。

38と8なら、

最小公倍数152
↓
152÷8＝19日
↓
次の周期の最初なら20日目

です。

家庭では最後に、

「今出した152の単位は何？」
「問題は何を聞いている？」

と確認してください。

単位を意識するだけで、取り違えを減らせます。

まとめ｜掃除当番問題は「人の並びの周期」を見つけよう

中学受験算数の掃除当番問題は、出席番号が順番に繰り返される周期算の典型です。

基本では、

クラスの人数
1日の掃除当番人数

に注目します。

例えば38人を8人ずつなら、

38と8の最小公倍数＝152

なので、

152÷8＝19日

で1周期です。

最初の1～8番が1日目なら、次に同じメンバーで担当するのは20日目です。

ただし、

休日がある
特定の1人だけを調べる
曜日と組み合わせる

といった条件が加わると、最後の処理が変わります。

掃除当番問題で大切なのは、いきなり日数を求めることではなく、「出席番号の並びと当番の区切りが、延べ何人で再びそろうか」を考えることです。

家庭では最初に小さい数字で番号を書き並べ、仕組みを理解してから最小公倍数へ進みましょう。