中学受験算数の三日月形｜面積の求め方とコツ

中学受験算数の「三日月形」とはどんな図形？

この記事では、中学受験算数の三日月形について、面積を求める基本の考え方から典型問題、家庭での教え方まで順番に解説します。

中学受験の図形問題では、円や半円が重なってできる「三日月形」の面積を求める問題がよく登場します。

名前の通り、月の三日月のような細長い形をしています。

一見すると複雑そうですが、三日月形そのものに特別な公式があるわけではありません。

大切なのは、「この形は何と何の差でできているのか」を見ることです。

三日月形は円や半円の重なりからできる

たとえば、大きな半円の中に小さな半円が入っている図を考えてみましょう。

大きな半円から小さな半円を取り除くと、残った部分が三日月のような形になることがあります。

つまり、

三日月形＝大きい図形－小さい図形

という考え方が基本です。

図だけを見ると複雑でも、元になっているのは、

円
半円
おうぎ形

など、すでに習った図形です。

基本は「大きい面積－重なった面積」

三日月形の面積で最も重要なのが「差」の考え方です。

たとえば半径6cmの半円から、半径4cmの半円を取り除く場合を考えます。

半径6cmの半円の面積は、

6×6×3.14÷2
＝56.52cm²

半径4cmの半円の面積は、

4×4×3.14÷2
＝25.12cm²

したがって残りは、

56.52－25.12
＝31.4cm²

です。

問題によって形は変わりますが、「大きい部分から不要な部分を引く」という発想は共通しています。

見た目で公式を覚えないことが大切

三日月形が苦手な子によくあるのが、

「三日月だからこの式」

と形だけで覚えてしまうことです。

しかし中学受験では、少し図の向きや大きさが変わるだけで使う式も変わります。

大切なのは、

「この部分はどの図形からできている？」

と考えることです。

公式を覚えるより、元の図形を見つける力を育てたほうが応用問題にも対応できます。

三日月形の面積を求める基本の解き方

三日月形を見たら、すぐ計算するのではなく、まず図を分解します。

まず円・半円・おうぎ形を見つける

最初に確認したいのは、

どこが円なのか
どこが半円なのか
どこがおうぎ形なのか

です。

たとえば三日月形の外側が半円なら、

「外側全体の半円」

をまず考えます。

その中から別の半円がくり抜かれているなら、

外側の半円－内側の半円

で求められます。

中学受験の図形では、色のついた部分だけを見るより、「もともとどんな図形だったか」を見るほうが解きやすいことが多いです。

半円どうしなら面積の差を考える

【例題】

直径10cmの半円と、直径6cmの半円があります。大きい半円から小さい半円を除いた部分の面積を求めなさい。

直径10cmなので、大きい半円の半径は5cmです。

面積は、

5×5×3.14÷2
＝39.25cm²

小さい半円は直径6cmなので、半径3cm。

3×3×3.14÷2
＝14.13cm²

したがって、

39.25－14.13
＝25.12cm²

です。

ここで重要なのは、直径をそのまま円の面積公式へ入れないことです。

円の面積は、

半径×半径×3.14

なので、まず直径から半径を求めます。

具体例で三日月形の面積を計算する

もう一つ例を見てみましょう。

半径8cmの半円から、半径6cmの半円を除いて三日月形ができているとします。

大きい半円は、

8×8×3.14÷2
＝100.48cm²

小さい半円は、

6×6×3.14÷2
＝56.52cm²

したがって三日月部分は、

100.48－56.52
＝43.96cm²

です。

このように数字が変わっても、

大きい半円－小さい半円

という構造を見抜ければ解けます。

中学受験でよく出る三日月形の応用問題

実際の中学受験では、単純な半円どうしの引き算だけではなく、正方形や三角形などと組み合わされることがあります。

正方形や三角形と組み合わせる問題

たとえば正方形の中に円弧が描かれ、三日月形の面積を求める問題があります。

この場合、

正方形の面積
おうぎ形の面積
三角形の面積

などを組み合わせます。

ポイントは、三日月部分だけを直接求めようとしないことです。

まず、

「正方形全体から何を引けばよいか」

と考えます。

図形問題では、求めたい部分より「全体」を先に見ることで式が立ちやすくなります。

葉っぱ形と三日月形を区別する

三日月形と似た問題に「葉っぱ形」があります。

葉っぱ形は、2つのおうぎ形が重なった部分として出題されることが多いです。

一方、三日月形は、

円や半円から別の円弧部分を引いた残り

として考えることが多くあります。

ただし名前だけで判断する必要はありません。

葉っぱ形でも三日月形でも、

足すのか
引くのか
重なりを使うのか

を図から判断することが重要です。

面積が等しくなる部分を利用する問題

中学受験では、三日月形の面積を直接計算しなくても解ける問題もあります。

たとえば、

半円の面積＝三角形の面積＋ある部分

という関係と、

別の半円の面積＝同じ部分＋三日月形

という関係がある場合です。

両方に同じ部分が含まれていれば、その部分を引くことで、

三日月形＝別の図形の面積

となることがあります。

このタイプでは、

「共通している部分はどこ？」

と見るのがポイントです。

複雑な計算をするより、面積の等しい部分を見つけたほうが簡単に解けることがあります。

円周率を最後まで残すと計算しやすい

円の問題では、途中ですぐ3.14を掛けないほうが計算しやすい場合があります。

たとえば、

8×8×3.14÷2－6×6×3.14÷2

なら、

（64－36）×3.14÷2
＝28×3.14÷2
＝14×3.14
＝43.96

とまとめられます。

3.14を共通部分として残すことで、計算回数を減らせます。

中学受験では計算ミスを減らすためにも、こうした工夫を身につけておきたいところです。

三日月形が苦手な子への家庭での教え方

三日月形を苦手にしている子には、公式を追加で覚えさせるより「図を見る順番」を整えることが大切です。

色を塗る代わりに「足す・引く」を言葉にする

家庭では、問題を見たらすぐ、

「式は？」

と聞かないようにします。

代わりに、

「この色の部分は、何から何を引けばできる？」

と聞いてみてください。

子どもが、

「大きい半円から小さい半円を引く」

と言えれば、式はそのあと自然に作れます。

図形問題では、計算より先に図の関係を言葉にできることが重要です。

補助線より先に元の図形を探す

難しい図形問題を見ると、すぐ補助線を引きたくなることがあります。

しかし三日月形では、まず、

円
半円
おうぎ形
正方形
三角形

のどれが隠れているか探します。

補助線は、そのあと必要なら引けば十分です。

「まず元の図形を探す」という順番を身につけると、図形問題全体にも強くなります。

公式暗記より同じ面積を見つける練習をする

三日月形に専用公式を作って覚える必要はありません。

むしろ、

「この2つを足すと半円になる」
「この部分はどちらにも入っている」

といった面積の関係を見る練習をします。

たとえば図にA、B、Cと名前を付け、

A＋B＝半円
B＋C＝別の半円

と整理すると、どの部分を引けばよいか分かりやすくなります。

これは中学受験の複合図形で非常に役立つ考え方です。

解いたあと式の意味を説明させる

問題が正解したら、

「どうしてこの2つを引いたの？」

と聞いてみましょう。

「三日月だから」

ではなく、

「大きい半円の中から、この小さい半円を除いた部分だから」

と説明できれば、理解している可能性が高いです。

自分の言葉で説明できるようになると、図が少し変わっても対応しやすくなります。

まとめ｜三日月形は「元の図形」と「差」を見る

中学受験算数の三日月形は、一見すると特殊な図形に見えます。

しかし、三日月形そのものの特別な公式を覚える必要はありません。

基本は、

大きい図形－小さい図形

です。

まず、

円なのか
半円なのか
おうぎ形なのか

を確認します。

そのうえで、

「どの図形から、どの部分を取り除けば三日月になるか」

と考えます。

また、応用問題では正方形や三角形との組み合わせ、共通部分、同じ面積を利用する問題も出てきます。

この場合も、求めたい三日月形だけを見るのではなく、

全体
共通部分
差

という順番で整理すると解きやすくなります。

家庭で教えるときは「どの公式？」ではなく、

「この部分は何から何を引いた形？」

と聞いてみてください。

三日月形を通して「図を分ける」「面積の差を見る」という習慣が身につけば、葉っぱ形や複合図形など、中学受験で頻出する図形問題全体にも応用できるようになります。