中学受験算数「規則性」の入試対策と解き方

中学受験算数の入試で規則性が問われる理由

この記事では、中学受験算数の入試で問われる規則性について、頻出問題、基本的な解き方、家庭で進めたい過去問対策を順番に解説します。

規則性は、数字や図形に隠れた決まりを見つけ、その先の数や個数を求める単元です。

使う計算は足し算や掛け算が中心ですが、何を書き出し、どこを比較するかは受験生自身が判断しなければなりません。そのため、中学入試では単純な計算力だけでは測れない力を確認できます。

計算力だけでなく観察力と整理力を測れる

規則性では、複雑な計算ができても、変化に気づかなければ答えを出せません。

たとえば、

3、7、11、15、19……

という数列では、隣り合う数の差がすべて4です。10番目を求めるなら、最初の3から4が増える回数は9回なので、

3＋4×9＝39

となります。

重要なのは、公式を覚えていることではありません。「4ずつ増える」「1番目から10番目までは9回進む」と、必要な情報を分けて整理できることです。

入試では、規則を見つけるまでの観察力と、見つけた内容を式へ直す整理力の両方が問われます。

条件を加えて難易度を調整しやすい

規則性は、基本問題から難問まで幅広く作れる単元です。

単純な問題なら、同じ数ずつ増える数列や、色が一定の順番で繰り返される周期を扱います。標準問題では、増える数そのものが変化したり、複数の周期が重なったりします。

さらに入試では、「特定の位置までの合計」「ある条件を初めて満たす番号」などが問われます。

同じ題材でも設問が進むほど条件を増やせるため、大問の前半は基本、後半は応用という構成にも向いています。最終設問が解けなくても、前半を確実に取る意識が大切です。

整数や図形との複合問題にしやすい

入試では、問題名に「規則性」と書かれているとは限りません。

数字を一定の手順で並べる問題は整数と組み合わされます。正方形や三角形を順番に増やす問題では、図形の個数や周りの長さを求めることがあります。

また、カードを入れ替える、図形を回転させる、数を決められた方法で変換するなど、操作の繰り返しとして出題される場合もあります。

見慣れない設定でも、同じ操作を何度も行うなら、最初の数回を書き出し、繰り返しや増え方を調べるという規則性の考え方が使えます。

規則性の入試で押さえたい頻出問題

規則性には多くの形式がありますが、入試対策で優先したい型は限られています。次の5つを基本から順に仕上げましょう。

同じ数ずつ増減する数列

最初に身につけたいのは、一定の数ずつ増減する数列です。

5、8、11、14……

では、最初の数が5、増える数が3です。

20番目までに3が増える回数は19回なので、

5＋3×19＝62

となります。

間違えやすいのは、20番目だから3を20回足すことです。1番目の5はすでに置かれているため、増える回数は「求める順番－1」となります。

入試では、一定の差だけでなく、差が3、5、7、9のように変わる数列もあります。元の数列で規則が見えなければ、差を下に書き出しましょう。

同じ並びが繰り返される周期

色、記号、曜日、点滅などが繰り返される問題では、最小の周期を見つけます。

赤、青、黄、赤、青、黄……

なら、3個で一周です。

50番目を求める場合は、

50÷3＝16余り2

となるため、一周の2番目にある青が答えです。

余りが0なら、周期の最後を表します。51番目は3で割り切れるため、答えは3番目の黄です。

入試では、2種類の周期が同時に動き、初めて同じ状態に戻る時点を求める問題もあります。その場合は、それぞれの周期の最小公倍数が手がかりになります。

まとまりの位置を調べる群数列

群数列は、数字や記号がまとまりに分かれ、群ごとに個数が変化する問題です。

たとえば、

1｜2、2｜3、3、3｜4、4、4、4｜……

では、第1群に1個、第2群に2個、第3群に3個あります。

12番目の数を求めるなら、第4群までで、

1＋2＋3＋4＝10個

第5群までで15個です。したがって、12番目は第5群にあり、答えは5です。

さらに群の中の位置を求めるなら、12－10＝2より、第5群の2番目だと分かります。

群数列では、各群の個数と、群までの累計を分けて整理しましょう。

棒・点・図形の増え方

マッチ棒、タイル、点などを段階的に増やす問題も頻出です。

正方形を横に並べる場合、最初の1個には棒が4本必要です。2個目からは一辺を共有するため、3本ずつ増えます。

正方形が20個なら、

4＋3×19＝61本

です。

図形の規則性では、全体を毎回数え直すのではなく、前の図から新しく加わった部分を見ます。

入試では、棒の総数だけでなく、周りの長さ、内部の点の数、できる図形の個数などを問われることがあります。「最初だけ必要な数」と「毎回増える数」に分けると整理しやすくなります。

操作を繰り返す新傾向問題

入試では、初めて見るルールを問題文で説明し、その操作を何回か繰り返した結果を求める形式もあります。

たとえば、並んだカードを左へ一つずつ動かす、表と裏を交互に返す、数字を決められた式で置き換えるといった問題です。

このような問題では、既知の公式を探すより、最初の3～6回を正確に書き出します。

元の状態へ戻るなら周期問題として扱えます。個数が一定ずつ増えるなら数列として考えられます。

「知らない問題」と考えるのではなく、差、繰り返し、増えた部分のどれがあるかを調べましょう。

入試の規則性を解く4つの手順

規則性の問題で手が止まったときは、ひらめきを待つ必要はありません。次の4つを順番に実行します。

最初の数個を正確に書き出す

まず、問題文のルールに従って、最初の数回を実際に作ります。

「前の数を2倍して1を足す」という規則なら、

1、3、7、15、31……

と書きます。

図形の問題で3番目が描かれていなければ、自分で簡単に描き足します。操作問題なら、1回目、2回目、3回目の状態を表や図にします。

ここでの計算や転記を間違えると、誤った規則を探すことになります。入試本番でも、最初の書き出しは速さより正確さを優先してください。

差・周期・増えた部分を調べる

書き出した後は、見る場所を絞ります。

数字なら隣り合う数の差、同じ状態が戻るなら周期、図形なら前の段階から増えた部分を確認します。

2、5、10、17、26……

という数列では、差が3、5、7、9です。差そのものが2ずつ増えていると分かります。

すぐに規則が見つからないときは、数字全体を眺め続けず、「差」「繰り返し」「追加部分」の3点を一つずつ調べましょう。

順番と個数を表に整理する

規則性では、「何番目か」と「そのときの数や個数」を混同しやすいため、表が役立ちます。

たとえば、図形の段数と棒の本数を、

1番目：4本
2番目：7本
3番目：10本

と整理します。

さらに前からの増加を横へ書けば、3本ずつ増えることが分かります。

操作問題でも、「操作回数」「並び方」「合計」の欄を作ると、何が変化し、何が元へ戻っているかを確認できます。

小さい番号で規則を確かめる

規則を表す式ができたら、2番目や3番目へ戻して検算します。

正方形の棒の本数を、

4＋3×（個数－1）

と考えたなら、2個では7本、3個では10本になります。実際の図と一致すれば、考え方は妥当です。

入試では、順番が一つずれた式でも、それらしい答えが出ることがあります。大きな番号を計算する前に、小さい例で確かめる習慣をつけましょう。

規則性を入試の得点源にする対策

入試対策では、難問を何題も解くより、基本から標準までを安定させ、試験中に方法を選べるようにすることが重要です。

基本・標準・発展の順に仕上げる

基本段階では、一定の差、単純な周期、簡単な図形の増え方を扱います。

標準段階では、差そのものが変化する数列、群数列、指定された範囲の合計、複数周期などへ進みます。

発展段階では、整数や図形との複合問題、新しい操作のルールを読み取る問題を解きます。

基本問題を5問中4問以上、規則を説明しながら解けない場合は、発展問題を増やすより基本へ戻る方が効果的です。

間違いを原因別に記録する

規則性の誤答は、主に「書き出し」「規則」「順番」「計算」に分類できます。

問題文どおりに最初の数を作れなければ書き出しミス、差や周期を見誤ったら規則のミスです。20番目までの増加を20回としたら順番のずれになります。

ノートには、「順番・増える回数を1回多くした」のように一行で残します。

3～5題分を並べると、子どもがどこで失点しやすいか分かります。原因に合った基本問題へ戻ることで、同じミスを減らせます。

過去問は単元別から年度別へ進める

最初は、志望校や類似校の過去問から規則性だけを抜き出し、時間を気にせず解きます。

解けなかった場合は、「周期が分からない」「表を作れない」など、止まった地点を確認し、同じ型の標準問題へ戻ります。

その後、算数全体の年度別過去問を制限時間内で解きます。ここでは、規則性の問題へ何分使うか、後回しにすべきかという判断も練習します。

単元別演習は解法の補強、年度別演習は試験運用の確認と目的を分けましょう。

方針が立たない問題は後回しにする

規則性の難問は、書き出しを続けるうちに時間を使いすぎることがあります。

最初の2～3分で、差を見るのか、周期を探すのか、表を作るのかという方針が立たなければ、いったん印をつけて次の問題へ進む判断も必要です。

また、大問の前半だけ解ける場合は、そこで得点を確保し、後半を後回しにします。

撤退は諦めではありません。入試全体の得点を守るための判断です。過去問演習では、正誤だけでなく所要時間も記録しましょう。

家庭では法則より発見手順を説明させる

家庭での答え合わせでは、「答えはいくつ？」だけでなく、「最初に何を書いた？」「どこを比べた？」「なぜこの式になる？」と尋ねます。

「4ずつ増えていた」「3個で元に戻った」「正方形が一つ増えると棒が3本増えた」と説明できれば、考え方を理解しています。

正解していても、法則を説明できなければ偶然や暗記の可能性があります。反対に答えが違っていても、見る場所が正しければ、その部分は認めて構いません。

まとめ｜入試の規則性は変化を整理して解く

中学受験算数の入試では、一定の差を持つ数列、周期、群数列、図形の増え方、操作を繰り返す問題がよく扱われます。

形式は違っても、最初の数個を書き出し、差・繰り返し・増えた部分を調べるという基本は共通しています。順番と個数は表に分け、作った式を小さい番号で確かめましょう。

入試対策は、基本・標準・発展の順に進めます。間違いを「書き出し」「規則」「順番」「計算」に分け、原因に合った問題へ戻してください。

過去問は単元別で解法を補強した後、年度別で時間配分を練習します。方針が立たない難問は後回しにし、前半の取るべき設問を確実に得点することも大切です。

規則性は、特別なひらめきがある子だけが解ける単元ではありません。書き出す、比較する、表にする、検算するという手順を再現できれば、初めて見る入試問題にも落ち着いて対応できるようになります。