中学受験算数「数の性質」頻出問題と対策

中学受験算数で数の性質が頻出になる理由

この記事では、中学受験算数で頻出の数の性質について、出やすい問題の種類と家庭でできる対策を順を追って解説します。

数の性質は、約数・倍数・最大公約数・最小公倍数・余り・整数条件などを扱う単元です。単純な計算問題として出ることもありますが、入試では文章題や条件整理の問題として出題されることが多くあります。

そのため、「用語は知っている」「計算はできる」だけでは得点につながりません。どの考え方を使う問題なのかを見抜き、条件を整理し、候補をしぼる力が必要です。

数の性質は、多くの中学入試で扱われやすい単元です。まずは、なぜ頻出なのかを知ることで、家庭学習の優先順位をつけやすくなります。

短い問題でも思考力を見やすい

数の性質の問題は、問題文が短くても考える要素を多く入れられます。

例えば、「50より大きく100より小さい整数で、5の倍数であり、7で割ると2余る数を求めなさい」という問題を考えてみましょう。

この問題では、まず5の倍数を候補にします。

55、60、65、70、75、80、85、90、95

次に、その中から7で割ると2余る数を探します。条件に合うのは65です。

問題文は短いですが、倍数、余り、範囲の条件を順番に処理する必要があります。このように、数の性質は短い設問でも、子どもが条件を整理できるかを見やすい単元です。

約数・倍数・余りが他単元とつながりやすい

数の性質は、単独で出るだけでなく、他の単元と組み合わされることもあります。

例えば、規則性の問題で周期を考えるときには、余りの考え方を使います。場合の数で条件に合う整数を数えるときにも、倍数や約数の知識が必要になります。

また、図形問題の中で「同じ長さに分ける」「辺の長さが整数になる」といった条件が出ると、最大公約数や約数の考え方が関係することがあります。

つまり、数の性質を理解しておくと、整数問題だけでなく、規則性や場合の数、図形の条件整理にも対応しやすくなります。

入試で頻出になる理由は、単元の広がりが大きいからです。

計算力より条件整理の力が問われる

数の性質では、大きな計算を素早くこなす力よりも、条件を正しく整理する力が問われます。

「100以下の整数のうち、3の倍数で、5の倍数ではない数は何個ありますか」という問題を見てみましょう。

100以下の3の倍数は、

100÷3＝33余り1

より33個です。

その中で5の倍数でもある数は、3と5の最小公倍数である15の倍数です。

100÷15＝6余り10

より6個です。

したがって、

33－6＝27個

となります。

この問題で大切なのは、3の倍数を数えた後、5の倍数でもあるものを除くという整理です。計算自体は難しくありませんが、条件の扱いを間違えると失点します。

数の性質で頻出する4つの出題パターン

数の性質を対策するときは、頻出テーマを分けて学習すると効果的です。ここでは、特に優先したい4つのパターンを紹介します。

約数・倍数を使う問題

まず押さえたいのが、約数と倍数です。

約数は、ある数を割り切れる数です。例えば36の約数を調べるなら、掛け算のペアで考えます。

1×36
2×18
3×12
4×9
6×6

したがって、36の約数は、

1、2、3、4、6、9、12、18、36

です。

倍数は、ある数に整数をかけてできる数です。6の倍数なら、

6、12、18、24、30……

と続きます。

約数は「分ける」「割り切れる」、倍数は「繰り返す」「そろう」「何個ごと」という場面で使われやすいです。問題文の言葉と結びつけて覚えると、文章題でも判断しやすくなります。

最大公約数・最小公倍数を使い分ける問題

最大公約数と最小公倍数の使い分けは、中学受験算数の数の性質で非常に重要です。

例えば、24cmと36cmのリボンを余りなく同じ長さに切る問題では、24と36をどちらも割り切れる長さを探します。使うのは最大公約数です。

24と36の最大公約数は12なので、できるだけ長く切るなら12cmです。

一方、4分ごとに出るバスと6分ごとに出るバスが次に同時に出発する時刻を求める問題では、4と6の共通する倍数を探します。使うのは最小公倍数です。

4と6の最小公倍数は12なので、12分後に同時に出発します。

「同じ大きさに分ける」なら最大公約数、「同じタイミングでそろう」なら最小公倍数と覚えると判断しやすくなります。

余りから候補をしぼる問題

余りの問題も頻出です。

ある数を7で割ると3余るなら、その数は、

7×整数＋3

と表せます。

候補を書き出すと、

3、10、17、24、31、38、45……

です。

ここに「50より大きく100より小さい」という条件が加われば、52、59、66、73、80、87、94のように候補をしぼります。

さらに別の条件が加わる場合は、候補の中から条件に合うものを探します。

余りの問題では、いきなり答えを出そうとせず、候補を書き出すことが大切です。また、余りは割る数より小さくなることも必ず確認しましょう。

整数の個数や範囲を調べる問題

「何個ありますか」と聞かれる整数問題もよく出ます。

例えば、1から100までの整数のうち、6の倍数はいくつあるかを考えます。

100÷6＝16余り4

なので、6、12、18……96までの16個です。

次に、「1から100までで、6の倍数だが4の倍数ではない数はいくつあるか」となると、もう一段整理が必要です。

6の倍数は16個あります。6の倍数であり4の倍数でもある数は、6と4の最小公倍数である12の倍数です。

100÷12＝8余り4

より8個あります。

したがって、

16－8＝8個

です。

整数の個数を調べる問題では、範囲の端を含むか、除く条件があるかを丁寧に確認しましょう。

頻出問題を解けるようにする基本手順

頻出問題を安定して解くには、問題ごとに考え方を変えるのではなく、毎回同じ手順で整理することが大切です。

問題文の条件に線を引く

数の性質では、問題文の条件を見落とすと正解できません。

「100以下」「100未満」「50より大きい」「割り切れる」「余りが出る」「同時になる」など、数に関係する言葉に線を引きましょう。

例えば、「100以下の整数のうち、3の倍数で、5の倍数ではない数」とあれば、

100以下
3の倍数
5の倍数ではない

の3つが条件です。

条件を分けることで、何を数えて、何を除くのかが見えやすくなります。

保護者が家庭で見るときも、答えを確認する前に「条件はいくつある？」と聞くと、子どもの整理力を確認できます。

候補を書き出してからしぼる

数の性質が苦手な子は、頭の中だけで答えを探そうとして混乱しがちです。

特に余りや複数条件の問題では、候補を書き出してからしぼる方法が有効です。

例えば、「30より大きく80より小さい整数で、4で割ると1余り、6で割ると3余る数」を考えます。

まず、4で割ると1余る数を書きます。

33、37、41、45、49、53、57、61、65、69、73、77

この中で6で割ると3余る数を探すと、

33、45、57、69

です。

書き出しは遠回りに見えますが、条件を見落とさずに解くための大切な作業です。慣れてきたら式で処理しても構いませんが、苦手なうちは見える形にすることを優先しましょう。

答えの根拠を言葉で説明する

頻出問題を解いた後は、答えが合ったかだけでなく、なぜその方法を使ったのかを説明できるか確認します。

「同じ長さに切るから最大公約数」
「再び同時になるから最小公倍数」
「余りがあるから候補を書き出す」
「5の倍数ではないから15の倍数を除く」

このように説明できれば、知識と使い方が結びついています。

反対に、「前に似た問題でこうしたから」としか言えない場合は、条件の意味に戻る必要があります。

数の性質は、答えを覚える単元ではありません。根拠を言えるようにすることで、初めて見る問題にも対応しやすくなります。

家庭でできる数の性質の頻出対策

頻出テーマを理解したら、家庭学習でどのように定着させるかが大切です。長時間よりも、短く、同じ型を繰り返す方が効果的です。

1日15分で同じ型を2～3問解く

家庭学習では、1回15分を目安にします。

月曜日は約数、火曜日は倍数、水曜日は余り、木曜日は整数の個数というように、テーマを絞って取り組みます。

1問目は例題を見ながら解きます。2問目は自力で解きます。3問目では、なぜその解き方を使ったのかを説明します。

約数・倍数・余りを1問ずつ混ぜると、苦手な子は考え方の切り替えで混乱します。まずは同じ型を続けて、「この問題では何を使うか」を定着させましょう。

基本問題を10問解いて7～8問以上正解できるようになったら、条件が2つ以上ある応用問題へ進む目安です。

間違いを知識・判断・作業に分ける

間違えた問題は、原因を3つに分けて考えます。

1つ目は、知識のミスです。約数・倍数・余りの意味を忘れていた場合です。

2つ目は、判断のミスです。最大公約数と最小公倍数の使い分けを間違えた場合です。

3つ目は、作業のミスです。条件を見落としたり、候補を書き漏らしたりした場合です。

原因が違えば、復習方法も変わります。

知識のミスなら基本事項に戻ります。判断のミスなら、問題文の言葉と使う考え方を結びつけます。作業のミスなら、条件に線を引く、候補を縦にそろえて書くなどの対策をします。

復習ノートには、長い解説を書き写す必要はありません。

「同時にそろうから最小公倍数」
「100以下なので100を含める」
「余り0は周期の最後」

このように、次に注意する点を1行で残すだけで十分です。

学年別に優先する頻出テーマを変える

小学4年生では、約数・倍数・余りを具体的な数で書き出すことを優先します。公式よりも、数の関係を目で確認することが大切です。

小学5年生では、最大公約数・最小公倍数の使い分けや、文章題の条件整理を増やします。「分ける」「そろう」「余る」といった言葉から、使う考え方を選ぶ練習をしましょう。

小学6年生では、複数条件の整数問題や過去問に取り組みます。ただし、基本問題の正答率が7割未満なら、難問を増やすよりも約数・倍数・余りに戻った方が効果的です。

入試直前期でも、頻出テーマの基礎に戻ることは遠回りではありません。むしろ、確実に取れる問題を増やすことが合格点に近づく近道です。

まとめ｜数の性質の頻出問題は整理力で差がつく

中学受験算数の数の性質は、入試で頻出しやすい重要単元です。

特に、約数・倍数、最大公約数・最小公倍数、余り、整数の個数や範囲は優先して対策したいテーマです。

数の性質の問題では、計算力だけでなく、問題文の条件を整理する力が問われます。まず条件に線を引き、候補を書き出し、必要に応じてしぼり込む手順を身につけましょう。

家庭学習では、1日15分、同じ型を2～3問で十分です。答えが合ったかだけでなく、「なぜその方法を使ったのか」を説明できるか確認してください。

保護者は、正しい解法をすぐに教えるより、「何を探す問題かな」「分ける問題かな、そろう問題かな」「どの条件から使うと楽かな」と問いかけると効果的です。

数の性質の頻出問題は、ひらめきではなく整理の型で対応できます。出やすいテーマを順番に固め、条件を見える形にする練習を続けることで、入試本番でも落ち着いて得点できる力が育ちます。