中学受験算数の立体図形切断｜解き方とコツをやさしく解説

中学受験算数の立体図形「切断」が難しい理由

この記事では、中学受験算数の立体図形の切断でつまずく理由から、切断面を見つける基本ルール、典型問題の考え方、家庭でできる練習法まで順を追って解説します。

立体図形の切断は、中学受験算数の中でも苦手になりやすい単元です。

平面図形なら紙に描かれた形をそのまま見ることができますが、立体図形では、

「奥にある辺」
「裏側の面」
「切ったときに現れる断面」

まで頭の中で考える必要があります。

そのため、

「線を適当に結んでしまう」
「切断面が途中で止まる」
「断面の形は分かっても体積が求められない」

といったつまずきが起こります。

しかし、立体図形の切断は感覚だけで解く単元ではありません。

いくつかの基本ルールを順番に使えば、空間把握が苦手な子でも整理しやすくなります。

見えない部分を頭の中で考える必要がある

立方体や直方体の図では、通常、正面・上面・側面の一部しか見えていません。

実際には裏側にも辺や面があります。

切断問題では、その見えない部分に切断面が通ることがあります。

たとえば、立方体の前面にある点と奥側にある点を通る平面で切る場合、切断面は見えている面だけでは完成しません。

奥側の面にも線が続きます。

ここで大切なのは、

「見えないから存在しない」のではなく、立体全体を一つの箱として考えること

です。

最初は点線を書き足しながら考えると理解しやすくなります。

切断面をどこまで結ぶか迷いやすい

切断問題で最も多いミスが、関係のない点同士を結んでしまうことです。

立体図形では、どの2点でも自由に結んでよいわけではありません。

基本は、

同じ1つの面の上にある2点を結ぶ

ことです。

たとえば立方体の前面上に2点があるなら、その2点は直線で結べます。

しかし、前面にある点と、反対側の背面にある点をいきなり結ぶことはできません。

まず「同じ面にあるか」を確認します。

このルールだけでも、切断面を描くときの迷いはかなり減ります。

切った後の体積まで問われることがある

中学受験では、

「切断面の形を答えなさい」

だけで終わらない問題もあります。

切った後にできる立体の、

体積
体積比
表面積

を求める問題へ発展します。

そのため、切断面を描くだけでなく、

「どんな立体が残ったのか」

まで理解する必要があります。

たとえば切り取られた部分が三角すいなら、

底面積×高さ÷3

を使うことがあります。

つまり切断問題は、立体図形の知識が総合的に問われる単元なのです。

立体図形の切断で覚えたい3つの基本ルール

同じ面にある2点は直線で結ぶ

切断問題で最初に使うのがこのルールです。

立方体の1つの面を考えると、その面は正方形です。

切断する平面が、その正方形の辺上にある2点を通るなら、その2点を直線で結びます。

たとえば前面の左辺に点P、右辺に点Qがあるなら、

PとQを結ぶ線

が、その面に現れる切り口です。

まず図を見たら、

「同じ面に点が2つないか」

を探しましょう。

いきなり立体全体を考えるより、1面ずつ確認する方が安全です。

向かい合う面では平行になる線に注目する

立方体や直方体では、向かい合う面は平行です。

1つの平面で立体を切ると、平行な2つの面にできる切り口の線は、基本的に平行になります。

たとえば前面に切断線ができ、その切断面が背面まで続いている場合、背面にできる線は前面の線と平行になります。

この性質を使うと、

「次にどの辺と交わるか」

を見つけやすくなります。

ただし、何でも平行にすればよいわけではありません。

まず同じ面の点を結び、その後で向かい合う面との関係を見ることが大切です。

切断面は立体を一周するようにつながる

切断面は途中で突然終わりません。

切断する平面は立体を横切るため、辺との交点を順番につなぐと、最終的には閉じた図形になります。

たとえば、

P→Q→R

まで線ができたら、

「Rから次はどの面へ続くのか」

を考えます。

そして最後には最初のPへ戻ります。

このように、

切断面は必ず三角形、四角形、五角形などの閉じた平面図形になる

と意識すると、線の引き忘れを防ぎやすくなります。

中学受験でよく出る切断問題の解き方

立方体を3点で切る基本問題

立方体の3本の辺上に点P、Q、Rがあり、その3点を通る平面で切る問題を考えます。

まず、

PとQが同じ面にあるか
QとRが同じ面にあるか
RとPが同じ面にあるか

を確認します。

同じ面にある点同士は直線で結びます。

もし3組すべてがそれぞれ同じ面にあれば、

P→Q→R→P

とつながり、切断面は三角形になります。

重要なのは、

「3点だから三角形」

と最初から決めつけないことです。

3点を通る平面でも、途中で別の辺と交わり、切断面が四角形以上になることもあります。

必ず面を一つずつ追ってください。

切断面が三角形・四角形になる問題

切断面の形は、切断する平面が立体の何本の辺と交わるかによって決まります。

3本の辺と交われば三角形。

4本なら四角形。

5本なら五角形。

というように考えられます。

ただし、最初から形を予想するより、

交点を一つずつつないだ結果として形を判断する

方が安全です。

家庭では、

「この切断面は何角形？」

とすぐ聞くのではなく、

「この線は次にどの面へ進む？」

と順番に考えさせるとよいでしょう。

辺の中点を通る切断は比を利用する

中学受験では、

「辺ABの中点P」

など、辺を一定の比に分けた点を通る切断問題もよく出ます。

この場合、単に切断面を描くだけでなく、

切断面の辺の長さ
三角形の面積比
切り取られた立体の体積比

まで求めることがあります。

たとえば辺の中点を通っているなら、

AP：PB＝1：1

です。

別の辺も中点であれば、相似な三角形を見つけて長さや面積を求められることがあります。

切断問題に「中点」「2：1」などが出てきたら、

比を使う問題へ発展する可能性が高い

と考えましょう。

切断後の体積は底面積と高さで考える

切断によって三角すいや角すいができた場合、体積を求める問題へ進みます。

三角すいの体積は、

底面積×高さ÷3

です。

たとえば底面となる三角形の面積が24cm²、高さが6cmなら、

24×6÷3＝48cm³

です。

ここで難しいのは計算ではなく、

「どの面を底面として見るか」

を判断することです。

立体は向きを変えて見ても構いません。

一番面積や高さを求めやすい面を底面に選びます。

切断後の立体を見たときは、

「どの面を下に置くと計算しやすい？」

と考える習慣をつけましょう。

家庭で立体図形の切断を得意にする練習法

透明ケースや消しゴムで実物を確認する

立体図形が苦手な子に、紙の図だけで理解させようとすると難しいことがあります。

そこで有効なのが実物です。

透明な箱
豆腐の空き容器
消しゴム
粘土

などを使います。

たとえば消しゴムの辺に3点をつけ、

「この3点を通るように切ると、切り口はどんな形になる？」

と考えてみます。

実際に紙や輪ゴムを当てるだけでも、平面が立体を横切る感覚が分かります。

最終的には図だけで考えられる必要がありますが、最初の理解には実物が非常に役立ちます。

見える線と見えない線を書き分ける

図をノートに書き直すときは、

見える辺＝実線
見えない辺＝点線

と分けます。

立体図形が苦手な子は、裏側の辺を意識できていないことがあります。

点線を書き足すことで、

「この面は奥にも続いている」

と理解しやすくなります。

また、切断面の線は少し濃くするなど、立体の辺と区別すると見やすくなります。

切断面だけを平面図形として書き直す

切断面が完成したら、その部分だけを別に書き出します。

たとえば切断面が四角形PQRSなら、

立体図の中で考える
↓
PQRSだけを平面に書き直す

という流れです。

すると、

平行な辺
等しい長さ
相似な三角形

などを見つけやすくなります。

立体のまま考え続けると情報が多すぎるため、

切断面が分かったら一度「平面図形の問題」に変える

ことが重要です。

同じ問題を翌日にもう一度解く

切断問題は、解説を見れば分かった気になりやすい単元です。

しかし翌日になると、

「どこから線を引くんだっけ？」

と再び止まることがあります。

おすすめは、

当日：解説を見ながら理解する
その直後：何も見ずに解き直す
翌日：もう一度切断面を書く
数日後：似た問題を解く

という流れです。

特に、

「同じ面の2点を結ぶ」

という最初の一手を自分で思い出せるか確認してください。

ここが自力でできれば、切断問題への苦手意識はかなり減ります。

まとめ｜立体図形の切断は「同じ面を結ぶ」から始めよう

中学受験算数の立体図形の切断は、見た目が複雑なので難しく感じやすい単元です。

しかし、最初から切断面全体を頭の中で想像する必要はありません。

まず、

• 同じ面にある2点を結ぶ
• 次に線が続く面を探す
• 向かい合う面の平行関係を見る
• 最後までつないで閉じた図形にする
• 切断面だけを別に書き直す

という順番で考えましょう。

特に重要なのは、

「完成した切断面を一気に当てようとしないこと」

です。

立体図形が得意な子は、頭の中で切断面が見えているように感じるかもしれません。

しかし苦手な子は、1面ずつ順番に追えば十分です。

家庭でお子さんが止まったときも、

「切断面は何角形？」

と答えを求めるより、

「同じ面にある点はどれ？」
「この2点は結べる？」
「この線は次にどの面へ続く？」

と問いかけてみてください。

また、切断面を描けるようになったら、そこで終わりではありません。

中学受験では、その後に、

辺の長さ
面積
体積
体積比

まで問われることがあります。

そこで、切断面を別の紙に平面図形として書き出し、相似や比へつなげる練習もしておきましょう。

立体図形の切断は、「空間センスがある子だけが解ける問題」ではありません。

同じ面を結ぶ→次の面へ進む→閉じた切断面を作る

という手順を何度も繰り返せば、少しずつ見えるようになります。

まずは立方体の基本的な3点切断から始め、自分の手で切断面を完成させる経験を積むことが、得点につなげる近道です。