中学受験算数「水」の問題｜水そう・水量変化の解き方

中学受験算数の「水」の問題でつまずく理由

うちの子、水そうの形が少し変わるだけで急に分からなくなるので、私もどう教えればいいのか不安です。

中学受験算数では、「水」を使った問題がよく出ます。

代表的なのは、

水そうに水を入れる
水面の高さが変わる
途中から容器の形が変わる
水を入れながら別の管から出す
時間と水面の高さをグラフで表す

といった問題です。

一見すると体積の問題ですが、速さや割合、グラフの読み取りまで組み合わされることがあります。

水の量と水面の高さを混同しやすい

最初に区別したいのが、

水の量と水面の高さは別

ということです。

たとえば、同じ600cm³の水を入れても、底の広い容器と細い容器では水面の高さが違います。

底面積が100cm²なら、

600÷100＝6cm

ですが、底面積が50cm²なら、

600÷50＝12cm

です。

水の量は同じ600cm³でも、高さは2倍になります。

この違いが曖昧なままだと、水そうの形が変化する問題で混乱しやすくなります。

底面積が変わると水面の上がり方も変わる

毎分同じ量の水を入れていても、水面が毎分同じ高さずつ上がるとは限りません。

たとえば毎分200cm³の水を入れる場合を考えます。

底面積が100cm²なら、

200÷100＝2cm

なので、毎分2cmずつ水面が上がります。

ところが、途中から底面積が200cm²に広がると、

200÷200＝1cm

となり、水面は毎分1cmしか上がりません。

つまり、

底面積が大きいほど水面はゆっくり上がる

ということです。

注ぐ量と出ていく量を同時に考える問題がある

応用問題では、

毎分500cm³入れる
毎分200cm³出ていく

という状況もあります。

この場合、実際に水そうに増える量は、

500－200＝300cm³/分

です。

子どもが「毎分500cm³増える」と考えてしまうと、その後の計算がすべてずれます。

水の問題では、

「入る量」
「出る量」
「実際に増える量」

を分けて整理することが大切です。

水そう・水量の基本問題の解き方

水の問題で最も大切なのは、複雑な公式を覚えることではありません。

基本になるのは、

体積＝底面積×高さ

です。

この関係を使って、水量・高さ・時間を結びつけます。

水の体積は「底面積×高さ」で求める

縦10cm、横20cmの直方体の水そうに、水を高さ8cmまで入れたとします。

底面積は、

10×20＝200cm²

です。

水の体積は、

200×8＝1600cm³

となります。

逆に、1600cm³の水をこの水そうに入れたと分かっていれば、

1600÷200＝8cm

として水面の高さを求められます。

水の問題ではまず、

底面積はいくつか

を確認する習慣をつけましょう。

毎分何cm上がるかは底面積から考える

次に、水を一定の割合で入れる問題です。

底面積150cm²の水そうに、毎分300cm³ずつ水を入れるとします。

1分間で入る水の体積は300cm³なので、

300÷150＝2cm

水面が上がります。

したがって、

1分後……2cm
2分後……4cm
3分後……6cm

となります。

「毎分300cm³」という体積の増え方を、「毎分何cm」という高さの増え方に変えるには、

1分間に入る体積÷底面積

と考えます。

単位をそろえてから計算する

水の問題では、単位ミスも多く見られます。

よく使う関係は、

1L＝1000cm³
1mL＝1cm³

です。

たとえば2.5Lなら、

2.5×1000＝2500cm³

です。

底面積がcm²で与えられているのに、水量をLのまま計算すると高さを求められません。

家庭学習では、式を書く前に、

「今、単位はそろっている？」

と一言確認するだけでもミスが減ります。

中学受験でよく出る水の応用問題

入試では、単純な直方体だけでなく、途中で形が変わる容器や、複数の管がついた水そうが出題されます。

ポイントは、最初から全部を一度に考えないことです。

段差のある容器は高さごとに分けて考える

たとえば、下から高さ5cmまでは底面積100cm²、その上は底面積200cm²になる容器を考えます。

毎分100cm³の水を入れるとします。

まず高さ5cmまでに必要な水量は、

100×5＝500cm³

です。

毎分100cm³なので、

500÷100＝5分

かかります。

5分後に段差部分へ到達します。

そこからは底面積が200cm²になるので、

100÷200＝0.5cm

となり、水面は毎分0.5cmずつ上がります。

ここで重要なのは、

形が変わる高さで問題を区切る

ことです。

段差が2つあれば3つの区間に分けます。

水を入れながら排水する問題は差を求める

水そうに、

A管から毎分600cm³入れ、
B管から毎分250cm³出す

場合を考えます。

実際に増える量は、

600－250＝350cm³/分

です。

底面積が175cm²なら、

350÷175＝2cm

なので、水面は毎分2cmずつ上がります。

逆に、

入る量＜出る量

なら水面は下がります。

たとえば、

毎分300cm³入る
毎分500cm³出る

なら、

500－300＝200cm³

ずつ水が減ります。

このタイプでは、

「足すのか引くのか」

を暗記するより、

水そうの中の水が最終的に増えているか減っているか

を考えるほうが確実です。

グラフ問題は傾きが変わる理由を読む

水そう問題では、横軸を時間、縦軸を水面の高さとしたグラフが出ることがあります。

グラフが急に上がっている部分は、

水面が速く上がっている

ことを意味します。

反対に、傾きがゆるい部分は、

水面がゆっくり上がっている

状態です。

同じ量の水を入れ続けているなら、

急な部分＝底面積が小さい
ゆるい部分＝底面積が大きい

と判断できます。

たとえば、

0～4分では急に上がり、
4分以降はゆっくり上がる

なら、4分後に容器が広くなった可能性があります。

グラフを単なる線として見るのではなく、

「この時間に水そうの中で何が起きた？」

と考えることがポイントです。

水の問題が苦手な子への家庭での教え方

水そう問題は、頭の中だけで立体を動かそうとすると難しく感じます。

家庭では「式を教える」より先に、状況を整理する手助けをすると効果的です。

式の前に「どこまで水が入っているか」を確認する

段差のある水そうで子どもが止まったら、

「今、水はどの高さまで入っている？」

と聞いてください。

たとえば高さ6cmまで入っていて、段差が4cmの位置にあるなら、

0～4cm
4～6cm

の2つに分けます。

一つの大きな立体として考えるのではなく、単純な直方体に分解することで計算しやすくなります。

図がなくても、

「下の箱」
「その上の箱」

と考えれば十分です。

容器を上から見た底面積を意識させる

水の問題では「底面積」という言葉を理解できていても、実際にどこを指しているのか分からない子がいます。

家庭では箱や保存容器を使って、

「これを真上から見た面積が底面積だよ」

と説明すると理解しやすくなります。

同じ量の水を、

細長いコップ
幅の広い保存容器

に入れて、水面の高さを比べてもよいでしょう。

実物を見ると、

「広い容器ほど水面が低くなる」

という感覚をつかみやすくなります。

間違いを体積・高さ・時間の3種類に分ける

水の問題で間違えたら、すぐに「水そうが苦手」とまとめないことも大切です。

間違いの原因を、

体積が求められなかった
水面の高さに変換できなかった
何分かかるかを求められなかった

の3種類に分けます。

たとえば、

毎分200cm³入る
底面積100cm²
高さ10cmまで何分？

という問題なら、

必要な体積
100×10＝1000cm³

時間
1000÷200＝5分

です。

1000cm³までは出せたのに、その後止まったなら、体積ではなく「時間」の考え方が弱いと分かります。

原因に合わせて復習すると、同じ問題を何十問も解かせる必要はありません。

まとめ｜水の問題は「体積」と「底面積」を分けて考えよう

中学受験算数の「水」の問題では、

水の体積
水面の高さ
底面積
時間

の4つを整理することが大切です。

基本となるのは、

体積＝底面積×高さ

です。

水面の高さを求めたいなら、

高さ＝体積÷底面積

と考えます。

また、毎分一定量の水を入れている場合でも、底面積が変われば水面の上がる速さも変わります。

底面積が小さいところでは速く上がり、広いところではゆっくり上がります。

段差のある容器なら、

形が変わる高さで区切る

ことが重要です。

水を入れながら排水する場合は、

入る量－出る量

から「実際に増える水量」を求めます。

グラフ問題では、線の傾きだけを見るのではなく、

「なぜここから水面の上がり方が変わったのか」

を考えましょう。

家庭で子どもが手を止めたときは、すぐに式を教えるより、

「今、水はどこまで入っている？」
「この高さでは底面積はいくつ？」
「1分間に何cm³増える？」
「それは高さにすると何cm？」

と順番に質問してみてください。

水そう問題は複雑に見えますが、実際には直方体の体積、速さ、割合など、これまで学んだ基本の組み合わせです。

水量を求める→底面積を見る→高さに変える→形が変わるところで区切る。

この順番を習慣にすれば、段差のある容器や注水・排水、グラフを使った中学受験の応用問題にも落ち着いて対応できるようになります。