中学受験算数の素数｜見分け方と頻出問題を解説

中学受験算数の素数とは？まず意味を理解しよう

この記事では、中学受験算数で必要な素数の基本から見分け方、入試でよく使う応用、家庭での勉強法まで順番に解説します。

素数は、中学受験算数の「数の性質」を学ぶうえで重要な基本事項です。

素数そのものを答えるだけの問題より、素因数分解、約数、最大公約数、最小公倍数などの問題の中で使われることが多いため、意味を正確に理解しておく必要があります。

素数は「約数が2個だけ」の整数

素数とは、「1より大きい整数のうち、約数が1とその数自身の2個だけである数」です。

たとえば7の約数は、

1、7

の2個だけです。

したがって、7は素数です。

一方、6の約数は、

1、2、3、6

の4個あります。

そのため6は素数ではありません。

ここで大切なのは、「奇数なら素数」と覚えないことです。

9は奇数ですが、1、3、9で割り切れるため素数ではありません。15も3や5で割り切れるため素数ではありません。

「1と自分自身以外では割り切れないか」を確認することが基本です。

1は素数ではないので注意

中学受験で非常に多い間違いが、「1も素数」と考えてしまうことです。

1の約数は1だけです。

素数の条件は「約数が2個」であるため、約数が1個しかない1は素数ではありません。

この違いは、言葉だけで覚えるより、

2の約数→1、2の2個
3の約数→1、3の2個
1の約数→1の1個

と実際に書かせると理解しやすくなります。

「1だけ特別扱い」と暗記させるより、「約数の個数が違うから」と説明できる状態を目指しましょう。

100までの素数は覚えておくと有利

100までの素数は次の25個です。

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

すべてを最初から丸暗記する必要はありません。

ただし、問題演習を繰り返すうちに自然に判断できるようにしておくと、素因数分解や約数問題を速く処理できます。

特に、

2は唯一の偶数の素数

という点は必ず押さえておきましょう。

「偶数だから素数ではない」と機械的に判断すると、2まで除外してしまいます。

素数の見分け方｜中学受験で使える基本手順

小さい数なら素数一覧を覚えて判断できますが、入試では100を超える数が出ることもあります。

そのときは、手当たり次第に割り算をするのではなく、順番を決めると効率的です。

2・3・5の倍数を最初に確認する

たとえば「123は素数か」と聞かれたとします。

123は奇数なので2では割れません。

次に各位の数字を足すと、

1＋2＋3＝6

となります。

6は3の倍数なので、123も3で割り切れます。

したがって123は素数ではありません。

5の倍数は、一の位が0または5です。

このように、

偶数か
各位の和が3の倍数か
一の位が0か5か

を見るだけで、多くの数を素早く除外できます。

割り切れる数があるか小さい素数から調べる

たとえば91を考えてみます。

91は、

2では割れない
3でも割れない
5でも割れない

ので、一見すると素数に見えるかもしれません。

しかし、

91＝7×13

です。

したがって素数ではありません。

素数かどうか調べるときは、

2、3、5、7、11……

という小さい素数から順に割れるか確認すると効率的です。

算数が苦手な子には、「とりあえず2から全部割る」のではなく、「素数で割れるかを見る」と教えると整理しやすくなります。

大きな数は全部の整数で割る必要はない

たとえば97が素数か確認するとき、96まで全部試す必要はありません。

仮に97が2つの整数の積で表せるなら、一方が10以上になる場合、もう一方は10未満になります。

なぜなら、

10×10＝100

だからです。

そこで97の場合は、10未満の素数、

2、3、5、7

で割り切れるか調べれば十分です。

どれでも割り切れないため97は素数です。

この考え方は少し発展的ですが、中学受験では大きな数を効率よく調べるときに役立ちます。

中学受験で素数が出る代表的な問題

素数は単独で問われるより、別の単元を解く道具として登場します。

特に重要なのが素因数分解です。

素因数分解から約数の個数を求める問題

12を素因数分解すると、

12＝2×2×3

となります。

つまり12は、素数である2と3の積に分解できます。

たとえば72なら、

72＝2×2×2×3×3

です。

中学受験では、ここから「約数はいくつあるか」を考える問題につながります。

72の約数を作るとき、

2は0個、1個、2個、3個の4通り
3は0個、1個、2個の3通り

から選べます。

したがって約数の個数は、

4×3＝12個

です。

素数の理解が曖昧だと、約数の問題でもつまずきやすくなります。

積を平方数にするための数を求める問題

素因数分解は、平方数を作る問題にも使われます。

たとえば、

「72にできるだけ小さい整数をかけて平方数にしなさい」

という問題です。

72を素因数分解すると、

72＝2×2×2×3×3

です。

3は2個あるのでペアになっていますが、2は3個なので1個余ります。

そこで2をもう1個かけると、

72×2＝144＝12×12

となります。

答えは2です。

平方数では、同じ素数が2個ずつ組になるという見方が重要です。

最大公約数・最小公倍数にも素数を使う

たとえば24と36を素因数分解すると、

24＝2×2×2×3
36＝2×2×3×3

です。

両方に共通している部分を取ると、

2×2×3＝12

なので、最大公約数は12です。

一方、必要な素数をすべてそろえると、

2×2×2×3×3＝72

となり、最小公倍数は72です。

機械的な割り算だけでも求められますが、素因数分解との関係を理解していると、「なぜその答えになるのか」が見えやすくなります。

余り・規則性と組み合わせた問題にも注意

難関校になると、素数は「素数を答えなさい」という単純な形だけでは出ません。

たとえば、

「2つの素数の和が奇数になるのはどのような場合か」

と考える問題があります。

2以外の素数はすべて奇数です。

奇数＋奇数＝偶数なので、和を奇数にするには、一方が唯一の偶数の素数である2でなければなりません。

こうした問題では、「2だけが偶数の素数」という基本知識を使って条件を絞ります。

中学受験算数では、覚えた知識を別の条件と組み合わせる力が問われるのです。

素数が苦手な子の家庭学習法

素数は比較的短期間で理解できる単元ですが、その後の約数・倍数や整数問題につながります。

家庭学習では、暗記だけにしないことが重要です。

丸暗記より「なぜ素数か」を説明させる

「17は素数？」と聞いて「そう」と答えられるだけでは、理解できているとは限りません。

続けて、

「どうして？」

と聞いてみましょう。

「1と17以外では割れないから」

と説明できれば、素数の意味を理解しています。

反対に、「表に書いてあったから」という答えなら、まだ暗記に頼っています。

特に最初の段階では、

11
15
17
21
23

など、素数と合成数を混ぜて判断させると効果的です。

素因数分解は割り算を順番に書く

素因数分解が苦手な子は、頭の中だけで処理しないようにしましょう。

たとえば84なら、

84÷2＝42
42÷2＝21
21÷3＝7
7÷7＝1

と順番に書きます。

すると、

84＝2×2×3×7

と分かります。

「何で割ればいいの？」と止まったら、まず最小の素数2から試す習慣をつけると迷いにくくなります。

1日5問の短時間演習を繰り返す

整数問題は、一度に30問解くより短時間で繰り返したほうが取り組みやすい単元です。

たとえば1日10分程度で、

素数判定2問
素因数分解2問
応用問題1問

という構成でも十分です。

月曜日に学んだ問題を火曜日にもう一度解き、さらに数日後に再確認すると、「解説を見れば分かる」から「自分で解ける」状態へ移行しやすくなります。

間違えた問題は原因まで確認する

素数問題で間違えたときは、「計算ミス」で片づけないことが大切です。

たとえば、

1を素数に入れた
2を素数から外した
9を素数だと思った
素因数分解の途中で止めた

では、それぞれ原因が違います。

「なぜ間違えたのか」を一言メモしておくと、同じ失敗を繰り返しにくくなります。

保護者も答えをすぐ教えるのではなく、

「素数って約数が何個だった？」

「この数は3で割れない？」

と問いかける程度で十分です。

まとめ｜中学受験の素数は数の性質を解く土台

中学受験算数の素数は、「素数を覚えるだけ」の小さな単元ではありません。

素因数分解、約数の個数、最大公約数、最小公倍数、平方数、余りや規則性など、さまざまな整数問題へつながる大切な土台です。

まず押さえておきたいのは、

素数は約数が2個だけ
1は素数ではない
2は唯一の偶数の素数

という3点です。

そのうえで、数が素数かどうかを2、3、5、7などの小さな素数から調べる練習をします。

さらに、

「72＝2×2×2×3×3」

のように素因数分解できるようになると、約数や平方数の問題まで一気につながっていきます。

算数が苦手な子の場合、「100までの素数を全部覚えなさい」と暗記から始める必要はありません。

まず、

「なぜ7は素数なの？」
「なぜ9は素数ではないの？」

と説明できることを目標にしてください。

中学受験算数では、言葉の意味を理解し、自分で使えることが何より重要です。

素数を単独の知識として終わらせず、「数を小さな材料に分解して考えるための道具」として使えるようになると、数の性質全体への理解も深まります。